Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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882 ~~~~~Abschnitt XXVIIL

Als ganz entschiedener AnhUinger E ulIe rs ist endlich Moing e zu
nennen, der von geometrischen U~berlegungen geleitet wird. In einem
Aufsatz l-ber die Bestimmung der wiliktirlichen Funktionen
einiger partieller Differentialgleiehungen 1) zeigt er, dai3 dies Problem
bei gegebenen Anfangsbedingungen auch auf rein geometrisehem Wege
durch Konstruktion der Integrale behandelt werden kann. Da ergibt
sich denn, daB unter Umstiinden diese Konstruktion, m. a. W. die geometrische Lbsung des Problems noch einen Sinn beh~ilt, wenn jene
willkiirliehen Funktioneu wegen auftretender Unstetigkeiten in den
Anfangsbedinogunogen nicht mehr angebbar (inassignable) 2) geworden
sind (vgl. auch oben 5. 561). So ist ihm z. B. die Aufgabe, die willkdrliche Funktion (9 in der G4leichung Z= = (p { V(x, y) } zu bestimm en,
wenn ffir eim gegebenes y == A (x) gleichzeitig z = 4i (x) sein soil,
identisch mit der Forderung, diejenige F1dche einer gewissen Filichenfamilie zu finden, weiche durch eine gewisse IRaumkurve, n~dmlich
y = A(x) und z = 'ip(x), hindurchgeit. Die betreffende Konstruktiona
wird sehr ansehaulich und. einfach duirch Einfiihrung der Schar von
Zylinderfldehen.
JV (x, y) = b
welche auf der gesuchten Fliiche eine Schar von ebenen Kurven ausschneidet. Monuge geht im folgenden zu Integralgleichungen mit
mebreren willkiirlichen Funktionen fiber, immer an einzelnen speziellen
Aufgaben rechneriscies und konstruktives Verfaliren erprobend. Dies
ist flbrigens nicit, der erste Aufsatz von Monag e fiber diesen Gegenstand 3), und auci spiier ist er wiederholt darauf zuriickekommen.4)
Er bringt indessen nichts wesentlici Neues mehr; zu den sciwierigeren
spilteren Aufgaben geho5rt z. B. folgende 6): Sei z = (p (U,) + ip ( V), wo U
u-nd V gegebene Funktionen von x und y sind; es sollen (p und LI
so bestimmt werden, dal3 fdr y E x von selbst z fx und ffir
y E' x analog z = f'x wird. Die Schwierigkeiten der Konstruktion
von z 111X + N~p ( V) - Pp ( TY) +~ kaun er nicht ailgemein fiberwinden 6); die Konstruktion gelingt jim. nur, weun die wilIkhrlichen
Fnnktionen alle das ndiimliche Argument besitzen. Im ersten Fall
wird Monge zu Differenzengleichungen gefihri (vgl. 5. 1051). Im
Supplement zur Applikation. kommt er endlich noch einmal. auf diese
Aufgaben zu sprechen.
Die Bestimrnung der willkifrlichen Funktionen unter gegebenen
1)Miscellanea Taurinensia V2, 1770 -1773, P. 16 if. 2)Ebenda, p. 21.
8)Vgl. ebenda, p. 18: dans un. me'moire precedent. 4) Me'moires present'Se
par divers Savans, t. VII2, 1773 (1776), p. 267ff. Vgl. auch p. XIII der Vorrede.
5) Ebenda, p. 306. 61) Ebenda, t. IX (1780), P. 345 if. Der Aufsatz wurde 1774
der Akademie vorgelegt.