Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleichungen. 881
lichen und zwar hochwichtigen Fortschritt bedeutet eine Arbeit von
Jacques Charles (1746 —1823, erst Beamter im franzbsischen
Finanzministerium, spilter Professor der Physik am Conservatoire
des arts et me'tiers und IMitglied der Acade'mie des sciences).
Dieser unterscheidet zuniichst zwischen Kurven, die volikommen willkiirlich, etwa aus freier Hand gfezogen sind, die also, wie er sagt,
nicht durch analytische Formein ausgedrtickt werden k~5nnen, und
Kurven, die in verschiedenen Abschnitten ihres Verlaufes verschiedenen
Gesetzen gehorchen. Von letzteren behauptet er, daB sie immer durch
einen einzigen analytischen Ausdruck dargestellt werden k~innen und
behandelt auch die Aufgabe, emn gegebenes,,Gemisch" von Fliichein,
Linien und Punkten durch eine eiuzige Formel auszudriicken. Als
Vorbereitung zu dieser Aufgabe gibt er umgekehrt analytische Ausdrflcke an, welche derartige Unstetigkeiten aufweisen. Ich brinDge
hiervon nur folgendes Beispiel '). Sei
~=g~kx+ (1+ ~ -X I - 1/x - a) (b — x),
wo a < b. Charles untersucht diese Gleichu-ng fMir den Fall
x x
Ftur a < x < b siuid 1 - -a und '- 1 beide negativ und die Gleia b
chung reduziert sich auf z + lox. Liegt hingegren x aul~erhalb
x a
dieses Intervalls, so ist eine von den Differeuzen 1 - - und —1
a b
positiv, die andere uegativ, die Gleichung reduziert, sich auf
z ==g + lox +-H J(x - a) (b - x);
dieser Ausdruck ist aber dann iniagin~ir. Die Schnittlinie der Ebene
F — 0 mit der gegebenen Filiche ist demnuach ein Geradensttick
Mit der Gleichung z = g ~ lox, wenn x von a bis b iluft. Analog
lii8t sich eine FlIiche augeben, die mit -F = o emn GeradenstUek
zg'I + k~x gemeinasam hat, wenn x von b bis c liuft. Das Produkt,
all der erw~ihnten Gleichungen stelit schliel~lich eine Filiche dar, von
der F QL o einen gebrochenen Linienzng aussch-neidet. Einzelne
Punakte stellt Charles analytisch dar, indem er sie als isolierte
Punkte von Kurven auffal~t.
') Me'moires, de matheimatique et de physique, pre'sente's par divers Savans,
t. X, 1785, p. 586.