Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschinitt XX -

eine Zahl nichts anders ist als das Verh~illtniB, worinnen eine Gr6BIe
gegen eine andere, weiche fuir die Einheit angenommen wird, steht.
Hieraus ist kiar, daB sich alle Gr85Ben durch Zahien ausdriicken,
lassen, und also der Grund aller inathematischen Wissensehaften darin
gesetzt werden mul3, daB man die Lehre von den Zahien... genau in
Erwegung ziehe, und VOllStindig abhandele." flier ist der Gedankengang dem von uns oben angedeuteten entgege-ngesetzt. Die quantitative Idee wird der Zahi zugeselirieben und daraus der SchiuB gezogen, daB Mathematik die Wissenschaft von der Gr~5e sei. Dann
und wann findet man auch in anderen Lelirbilehern dieser Zeit die
Zahl ausdrllcklich als emn Verhujitnis erklirt.,,Das 1 selber ist eine
Zahi: denn 1 h~1t eine Verhalitnuss zu eims", sagt euler').,,Das VerhUltnis irgend einer Grbl~e zu. einer gleicher Art, die als Einheit erwiihlt ist, wird eine Z ahi genannt, und man nennt Aritlimetik die
Wissenschaft von solchen Verhilltnissen"'). Gewiihnlich wird aber
der Begriff des Verhiiltnisses oder des Messens niclit so scharf hervorgehoben, so daB man im Zwe ifel 1st, oh das Ziihlen als emn wirkliehes Messen auf~gefaBt wnrde.,,Eine Menge von Dingen einler Art
heiBt eine ganze Zahi", sagt Kiistner3). Diese Definition der Zahl
ist der Euklidischen,,,eine aus Einheiten bestehende Menge", ganz
aihnlich und hat keine notwendigre Verkiniipfung mit Verh~ltnissen.
Bel Euklid waren Verhiiltnisse keine Zablen. Bei Bezu4 scheint
der MeBbegriff vorzuherrschen, denn er sagt:,,le nombre exprime de
combien d'unite's, ou de parties d'unite's, une quantit6' est composee
und Y,1unit6' est une quantite6 que l'on prend..pour servir de ternie
de comparaison 'a toutes les quantite's d'une me~me espece" Andere
Schriftsteller ftihfrein unbedeutende Wortiinderungen eim.,Mehrere
gleichnamige Einheiten machen eine Zahi aus"5).,,Mehrere solche
zusammengestellte Einheiten geben eine ganze ZahI" 6). Ob bei diesen
und iihnlichen Ansdrficken, die in Lehrbftiherni allgemein vorkommen,
die Zahi aussehijeBlich als ein VerhdIltnis anzunebmen 1st oder nicht,
hiingt davon ab, oh die Schriftsteller stillschweigend den Gedankengang von Newton und Wolf oder von Euklid bofolgten.
J. F. HIeynatz7) macht die Bemerkung:,,Einige leugnen, da1B
Emns oder die Einheit eine Zahl sey, und lassen nur das, was durch
die Wiederholung der Einheit herauskdmmt. fur eine Zahl gelten".
') Jacob Friederich Maler, Unterriclit zum Rechnen, CarIsruhe 17&5,
S. 23. 2~E. Develey, Arithimetique D'Emile, 2. Ed., Paris 1802, p. 2.
8) Kl~stner, op. cit. S. 21. 4) B~zout, op. cit. T. I, p. 2. 5) Matthias llaul~er,
Analytisehe Abliandlung der Anfangsgrdinde d. Mathematik, I. Teil, Wien 1778,
S. 1. 6)Johann Georg Pr~dndels Arithmetik, MNIinchen 1795, S. 3
7) lle y na tz, op. cit. S. 3.