Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialoleiehungren.87

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eine Stelle bei Euler') hingewiesen, an der gezeigt ist, wie eine
gewisse Methode der Integration durcli Approximation infolge bestimmter Unstetigkeiten des Integrals binfiillig werden kann. Es ist
speziell von der iDifferentialgleiehung
ddy + -d -d - ff'_I_: =0
die Rede, deren. vollstiindiges Integral
yA sin (f +a)c
ist. Hier geht, sag-t Euler, willrend x von 0 bis w. d. i. einer sehr
klienen Gr~le, wv'chst, der Winkel -f + cc aus dem Unendlichen ins
Endliche liber, so daB sein Sinus inzwischen alle Zwischenwerte von
+ 1 bis - 1 unendlich oft annimmt.
Die Frage nach der Existenz der Integrale, die nach unserer
Ansicht den speziellen Untersuchungen voranzugehen hat, existiert
vor C au chy ilberhaupt nicht. Einerseits war die Zeit fMr derartigr
kritische Fragestellungen noch nicht reif, andererseits mochte die
geometriseli oder physikaliseli evidente Existenz der L~sung von
Problemen,7 die aus der Praxis genommen wareii, die Uberzeugung
erwecken, daB auch der entsprechenden ruathematischen Formulierung
der Aufgabe eine Bedentung zukommen nmuB. Indessen findet sich
doch, wiederum bei Euler, eine Uberlegung, die, wenngleich mit der
Frage nach der Existenz der Integrale in keinerlei Zusammenhangr
stehend, doch C anchy nachmals bei semnen Untersuchungen genii~tt
haben kann. Euler stelit niimlich an die Spitze eines Kapitels
seiner Integralrechnung, das speziell von der Integration dnrch Approximation hbandelt 2), folgende Auslegung der Differenatilagleichung
dy V, wo V eiue gegebene Funktion von x und y ist (s. o. S. 734):
Nimmt x der Reihe nach die Werte a, a' a" a"' an, so nebmen,
wenn die Differenzen a" -a, a -a,. sehr kleine Zahien sind,
Y und V die Werte b, b/ b",~ b"f,... bzw. A, A', A", A"',.. an, wo
die a, b, A dureli die Gleichungen
b'== b +A (d'-a); b"== b'~+A'(a" -a');
b" b"f + A" (a"f' - a"f);
verbunden sind. Euler hat also hier iihnlich wie Canuch y emn Jnte1)Institutiones calculi integralis, vol. II, p. 355. 2) Ebenda, vol. I, 1768,
p. 493.