Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleiehungen.
Urn die Mitte des 18. Jalirhunderts seheD wit' die Theorie der
Differentialgleichungen bereits als eine selbstiindige mathematische
Disziplin vor uris. Wiihrend die Untersuchung von Differentialgleichungen anfiinglich nur Mittel zum. Zweck war, w~hrend ihre
L~isuing urspriinglich sozusagen nur als Nebenrechnung bewerkstelligt
wurde, war ihre Integration inittlerweile Selbstzweek geworden.
Auch die Problernstellung hat sich geiindert. In den ersten Zeiten
werden Integrationen in gesehiossener Form durch elementare Transzendenten verlangt, bald besehr~inkt man sich auf blol~e Quadraturen;
aber auch diese Forderung wird fallen gelassen; man ist zufriedena,
ilberbaupt die durch die gegebene Differentialgleichung definierte Abhilngigkeit diskutieren und womdglich durch unendliche Reihen oder
bestimrnte Integrale ausdriicken zn k~innet. Trotz dieses freiwilligen
Aufgebens zu hoch geschraubter Forderungen ist natUrlich die Frage
nach Integrationen in endlicher, gesehiossener Form nicht erlosehen;
aber wiihrend man frilher schlechthin ffir jede Differentialgieichung
emn derartiges Integral verlangte, fragt man jetzt umgekehrt nach
Gleiehungen, weiche eine Integration durch eine endliche Zahi elementarer Fnnktionen erlauben. Derartige Nacliforsehungen haben. die
Entdecknng grdl~erer Gruppen. integrabler Typen zur Folge. Soiche
enthallt z. B. eine Arbeit von d'Alembert in den Memoiren der
franz6sischen Akademie von 17(i7.1) D'Alembert suclit zuerst Ausdrlicke, die sich mit Hilfe der Exponentialfunktion, des Integrallogarithmus, von Logarithmen. und elliptischen Integralen integrieren
lassen. Im folgenden gibt er eine Reihe von eigentlichen Differentialgleichunngen, meistens 2. Ordnung, die aber viel zu speziell
sind, als dal3 wir hier darauf eingehen kWiinnteni, und Bedingungen
fuir ihre Integrabilitilt. Wie er diese Gleichungen erhalten hat, 1egt
er in einem sp~iteren. Aufsatze dar 2): Seine Methode besteht darin,
')Histoire de I'Acade'mie Royale des Sciences (avec les Me'moires de
Mathe'matique et de Physique) 1767 (1770), p. 573 if. (s. o. S. 728, 838). Die
Seitenzahl. bezieht sich hier, wie bei den Petersburger Akadernieseliriften, nur wenn
besonders bemerkt auf die Histoire selber. 2) Ebenda 1769 (1772), p. 73ff