Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Transzendentcn. Elliptische Integrale.

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Es ist zu bemerken, daB die Folge 1B, B1, B,... rascher als
die Folge c, c, 2,... abnimmt. Konnen Bn, c, vernachlassigt werden, so ist:
GA nn = 2?'A4,
wo:
A B ( 4 cl + c{2 co '. ' cn"n-)
A~=A+2- 1-4- 2+ 4 +"+ --
bezeichnet also L den Grenzwert von A,, so folgt:
c 2 22 s in ST2+ 2- sinp s+.)
7t
Fuir T= - hat man G KL -
Setzt man A 1, B = - c2, so stellt G den Ellipsenbogen E
dar; es ist also:
E (c, q)) --- LC ]//C1 C2
E (c, T) == KL + W 2 2sin P1 + -lc2 sin S2+ *
E (c, ) = (c) = Kl 7
Die Integrale dritter Gattung H lassen sich analog behandeln;
man kann aber auch auf dieselben eine oder die andere der beiden
Substitutionen:, (1 q- c) sin (p2 * 1 - cos il
8sin === +e, q2 sin. q 1 + A
' + c sin (p +Ai^
anwenden.
Die Integrale:
r _P-x -_Cpdx( + fX2+ yX4)
a + fxl + 'X4 +'.X6
J/a1+BSx2+yX4+4J6
1
fPdx( + Otx + yx2 + dx3)-.J(a x+ yY c + aX + 7x 4 + OX5 + + 6
/^ _ _ ___Pdx- _
y v X + X4 x + YX x+ X8'
wo P eine rationale Funktion von x bezeichnet, lassen sich auf elliptische Transzendenten zurtickfuihren; dasselbe gilt von dem Eulerschen Integral erster Art:
/ xP-ldx
n-qy
eg (_n-) n
0
wenn n == 3, 4, 6, 8, 12.