Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Transzendenten. Elliptische Jutegrale.86

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Die Reduktion des aligemeinen Integrales auf die erwiihnten drei
Typen geschiehit folgendermaBen.
Man kaun vor allem RI in emn anderes nur gerade Potenzen der
Ver~inderlichen enthaltendes Polynom von gleicher Ordnung durch
eine lineare Substitution umwandeln; wir k~$nnen also setzen:
B2 = cc +- fi XI y x4.
Man kann ferner voraussetzen, P sei eine rationale Funktion von
x2 zerlegt man n~inlich P in die Summe einer geraden un~d jivrn
ungeraden Funktion:
P = Pf/+ P,
so ist bekanntlich emn elementares Integral. Es existiert
dann stets eine Substitution, die das Integral in d tifberfillrt,
wo Ag; P j/ c2sin (f2, Qeine rationale Funktion Von Sin 992 bezeichnet, nnd die Zahi c zwischen 0 und I1 legt.
Ist nun 9 zunachst eine gauze Funktion von slin ':
9 Za, sin 4p",
und setzt man:
ja sillq)2hd q)
so folgt:
It = I)
es ist aber identiseli:
A p CS p Sn p9h __ __2_ 2 Z~c(2h - 3/wonach siimtliche Z. dureli Z0 und Z1 ausdriickbar Sind. - Ist zweitens Q gebrochen, so kommen auch Teilintegrale von der Form:
j d~llwsk9
+ n Sin (p 1)k A 99 H
vor; setzt man aber augenblicklich sin (p x, so folgt:
C ~~dx
A J( +fX2)i/ -1 _(1 _i-C2)X2 + c2x4'
ein Integral, ffir weiches die folgende Rekursionsforniiel grilt: