Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Transzendenten. Elliptische Integrale.83

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d= 2 Ndy
Da:-ffJ~
__2- ' V~i- + Oy2 +r7Y'
ist, so erh~ilt man:
N= q(y2) -+-i +fOy2-H yyl4?P(y2),
wo r (!, 2), ~y (y2 ) rationale Funktionen von y2 bezeichnen, so daB du,
-von einerm rationalen Differential abgesehen, in:
dv == -
TVc" + Ply2 +yyl
iibergeht, wo Q eine rationale Funaktion von y2 ist.
Urn dieses Differential behandeln zn kdnnen, muB man annehmen,
daB cc + p3y2 + 7'y4 in zwei reelle Binome zerlegbar ist, daB niimlich
32 > 4cay. 1st dies nicht der Fall, so setze man:
= _ y___
4 3y2+ yyl'
man erh~ilt dann, uach Vernachlissigung eines rationalen Differentiales, einen Ausdruck von der Form:
Ldz
fj~Z2 + (#2 - 4ixy)z4
o der:
Ldz _
WO:
/'2 -4y'=- M~ay >O
ist, da in dern betracliteten Falle 4cay positiv sein muB. Wir ko-nnen
also in allen Fiillen setzen:
Tdx Tdx
1/a -1-bX2 +CX -x 1/(m + nx) (rp + qX2)~
wobei T7 eine rationale Funktion Von X2 bezeichnet und m, n, p, q
reell sind.
fli
Ist n = 0 oder q == 0 oder~= so ist das Integral auf elep M
mnentare Weise berechenbar; bestehen diese Bedingungen nur anniiherungswejse, so kann man einen aingeniiherten Wert des Integrales
durch Reihenenatwicklung erhalten. Es ist aber immer m~glich, das
vorgegebenae Differential in emn anderes llberzufilhren, welehes die ver