Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Transzendenten. Elliptische Integrale. 837
Euler will die Kegelschinittbdigen als neae Transzendenten mit dernselben Rechte in der Analysis einbtirgern, mit welehem scion lange
her die Logarithmen und die Kreisb6gen in derselben auftreten. Und
so wie man in der Trigonometrie den Radius = 1 anninmmt, so nimtut
er den Jlalbparameter 1 an, so daB die Gleichung des auf einen
Scheitel als Koordinatennrsprung bezogenen Kegelscbnittes lautet:
2
wo 2a die Ldnge der durei den betrachteten Scheitel gehenden Acise
bezeichnet. Flier ist:
a > 0 fUr die Ellipse;
a =1 ffur den Kreis;
a = o M-fr die Parabel;
a < 0 ffir die Hlyperbel.
Die Bogenfliinge Ha x1) ist:
HaX= a(2ax _X2) dx,
Euiler bringt di eses Integral auf die Form:
f+g dz,
u-nd unterseheidet zw6lf fMr dieses letzte Integral m~igliche Fqlle,
je naci dem Vorzeicien und der relativen Grdle der Koeffizienten,
wie aus folgender Tab elle erhelit, welehe auci anagibt, auf welehe
Weise das Integral in jedemi besonderen Falle durch Kegelsehnaittbb5gen
darsteilbar ist:
f g h k
1 -v ~ - + fL> yha alg. F., Ellipse und Hyperbel
el 2 + + + -1 fk <gh Hyperbel
3 + + + - Ellipse
4 + +i - + alg. F., Ellipse und Hyperbel
5 + - + + a]ig. F., Ellipse und Hyperbel
6 -t + - fk >gh Ellipse
7 + - + - fk < gh aigo. F. und Hyperbel
') Euler schreibt Ilx [a]
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