Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXVI.

Es erhebt sich aber die Frage, ob es m~glich ist, jeden beliebigen
Kegelschnittbogen dureb B~igen eines Kegelschnittes von b estimmter
Art auszudriieken. Analytisch lautet die Frage, oh und wie man gewisse Integrale auf eine bestinimte Form bringen kann. Diese Frage
enthiilt den Kern zweier Begriffe, die in der Theorie der elliptisehen
Funktionen eine Hauptrolle spielen, der Transformation und der
Reduktion auf Normalformen.
Eigentliche Transformationen und Reduktionen sind die folgenden
Probleme, die Euler gleich zu Anfang unserer Periode untersuchte 1):
1. Das Differential:
dx _dx
-1-u X+yX,X X 1/1
durch Kegelschnittb6gen zu integriere-n;
2. die Bedingungen aufzusucheni, miter welehen:
(44) f(jp-+qy +ry2)dy
auf die Form:
f(p +qx + rX2 )dx
Ila~ + rX2 + EX4
zuriickfiihrbar ist;
3. das Differential:
(~p + rx2)dx
1/ a +7X2 +- EX4
durch Kegelsehnittbbigen zu integrieren, weun das unter dem Wurzelzeichen stehende Polynom nieht in zwei reelle rein quadratische Faktoren f + gx2, h + kX2 auflbsbar ist;
4. die Bedingunigen aunzugeben, unter welchen (44) sich auf die
Form:
f(p_+qx +rx2)dx
2/#x -I rx2 + 2,x3
bringen %Blt.J
Eine mehr systematisehe Behandlung erfiihrt das allgemeine
Reduktionsproblem in einer sp~iteren Schrift Euler S.2) Hier taucht
ein neuer mid frnchtbarer Gedanke auf; emn Gedanke, der auch geeignet war, zur Umkehrung der elliptisehen Integrate zu fifliren.
') Consideratio formularum, quarum integratio per arcus sectionum conicarum absolvi potest, Novi Comm. Acad. Petrop. VIII, 1760 un1d
1761 (pubi. 1763), p. 129-149. 2) De reductione formularum integralium ad rectificationem ellipsis et hyperbolae, Novi Comm. Acad.
Petrop. X, 1764 (pubi. 1766), p. 3-50.