Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Transzendenten. Elliptische Jntegrale.83

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niclit zukommt, was sp~iter den Ausgangspunkt des Umnkehrproblems
der Abel schen Integrale bildete.
Die Analogie, mit den Kreisfunktionen entflel weder Euler nocli
Lagrange; beide gingen, urn eine, Integrationusmethode fUr die elliptisehe Gleichung aufzufinden, von der einfacheren Gleichung:
-dx +dy -
- - }/ y2- =
aus, deren Integral sich unter den beiden gleiclibedeutenden Formen:
x/ -y2 + y-j/l X2 = a,
aresin x ~aresin y arcsin a
selireiben Milt. Setzt man:
x = sint, y ~sin u,
so erhulit man hieraus, nach einer viel jiblicheren Schreibweise:
sin ti/ - sin U2 + ~s-in uJ1 _ Sin t2 = Sinl (t ~?'),
eine Formel, welche aussagt, daB zwischen sin t, sin u und sin (t ~u)
eine algebraische Beziehung stattfindet. Es soilte ganz natfirlich erscheinen, eine, analoge Umiformung in die elliptische Differentialgleichung einzufibhren; man hatte nur:
Hx = u, Hy = v, fIa =c
zui setzen, und x, y, a als Funktionen von u, v bzw. C:
x =)J~u, y = --- A, a = A c
anzusehenu, urn schreiben zu k~innen:
)4(u + v) =- )p(IU,~ v).
Man sieht hieraus, wie nahle die beiden groBen Matbematiker
dem Begriffe der Umkehrung der elliptischen Integrale, kamen. Und
es muften dennoch manche Jahrzehnte verilieBen, ehe dieser Begrriff
ans Licht kommen muichte!
B. Beziehungen zwischen B6gen versehiedener
K ege lschn itt e.
Zu jedem beliebigen Bogen eines Kegelsehnittes lii& sich, wie,
schon gesehen, ein anderer Bogen desselben Kegrelselinittes derart angeben, daB die Differenz beider BMgeii algebraiseli ausdriickbar istL
CAW~TOB, Geschichte der AMathematik IV. 5