Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXVI.

83 bshitt= 1r 1 e XXVI.e a2
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ist also:
so folgt: ___
V~~~2x2 x ~ Z dZ = d(xz).
Satz c) kannl auf die Kurven:
4t+1 4 t- I
y ==MX4t+3, y ==M3x4t+1
angewandt werden, wo t + 0.
Die bisher besprochenen Untersuchungen sind nicht nur in historischer, sondern auch in sachlicher Hinsicbt von auBerordentlicher
Wicbtigkeit. Ilir wesentlicher Inhalt Midt sich wie folgt zusammenlfassen.
Bezeichnet Jix irgend emns von den betracliteten Integralen, also
emn Integral, weiches die Quadratwurzel eines Polynoms der vierten
Ordnung als einzige Jrrationalitiit enthiilt, und besteht zwischen x, y, a
eine gewisse al gebraische Beziehung:
a ip (x, y),
so ist:
Hx ~ THy H a + qp x, y, a),
wo qF (x, y, a) eine algebraische Funktion'1) von x, y, a bezeichnet; in
den einfaclisten Fallen ist diese Fnnktion identiseli Null, so daB:
Fix ~ THy N=fa
ist. Mit anderen Worten: Die Summe oder die Differenz zweier
gleichartigen Integrale Hx mit verschiederien oberen Grenzen ist, von
einer algebraischen Funktion dieser Grenzen eveutuell. abgesehen, emn
Integral von eben derselben Form, dessen obere Grenze von denjenigen der vorgegebenen Integrale algebraiseli abh'aingt.
Diese Eigenschaft der elliptisehen Integrale hat man sich gew~ihnt als Additionstheorem zu bezeicbnen; und Euler bemerkte auch,
wie schon (S. 805) gesagt, daB dieselbe den hyperelliptischen Integralen
') Erst gegen das Ende unserer Periode steilte sich, wie wir unten sehen
werden, der Fall von den Integralen. dritter Gattung ein, we T eine algebraiselilogarithmische Funktion ist.