Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

816 Abschnitt XXVI.
dx dy dq
d dt d dt dt
-- =+ ( ---
dx Cdy q '
und durch Integration:
dx dy
loc dt + log d = 2 logq + const.,
oder:
dxdy XY
C —
qCdt (x — )2 )
oder auch, durch Veranderung der willkiirlichen Konstante:
- XY (2 c (4( + I (x + y) + ) xy)2
C -= (- y) +(p" - "Y ) =
was sich einfacher schreiben laBt:
C _ = (x + y)+ xy.
x — y
Die Gleichung:
dx dy
X Y'
wo X, Y die obige Bedeutung haben, kann auf ahnliche Weise behandelt werden.
Nach diesen ganz einfachen Beispielen kommt Euler auf die
Differentialgleichung:
q\(31) dc ~dx dy O
(31) ^ ' =- 0VY
die er in den folgenden Fallen integriert:
X c= a x+ x yx2,
X = + px + yX2 x+ 6x3 + Ex4,
X= a + x2 + yx4 + 6x6.
Wir beschranken uns hier auf den zweiten Fall, auf welchen die
zwei iibrigen zuriickfiuhrbar sind. Euler setzt, nach Lagrange:
x+ y=p, x - y=q,
ferner, wenn das untere Vorzeichen angenommen wird:
dx dy d
= dt,
j/x vY
was darauf hinauskommt, daB er das Lagrangesche T gleich Eins
annimmt. Es ist dann:
dpdq X - Y = q t + yp + 4 (3p2 + q2) + (p3 + pq2)
dt~ 4)