Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXV1.

1st die Differentialgleichung:
dx _ dy
gegeben, so verifiziert man leicht dureli Differentiation, daB ilir
Integpral die Form:
A + B(x +y)~+C(X2 +yl) +Dxy +E(,xly+ Xy2) +FX2y2 =-0
hat; die Koeffizienten lassen sich dnrch cc, j3, y, 6, c ausdrficken mit
AussehiuB eines einzigen, der als Jntegrationskonstante gilt, so daB
die letzte Gleichung das vollstdindige Integral der gregebenen Differentialgleichung bildet. Diese Integration ist aber, wie Lagrange
sich aussprieht, nur zuf allig; er versucht daher, eine direkte lutegrationsmethode ftir derartige Gleichungen zu finden. Seine Methode
ist auf folgendes Prinzip gegrtlndet.
Liegt eine niclit integrierbare Differentialgleichung erster Ordnung vor, so differentiiere man sie, und sehe zu, oh es m~iglich
ist, ans, der gegebenen und der dureli Differentiation ans dieser erhaltenen Gleichung eine neue Differentialgleichung erster Ordnnng
durch Kombination und Integration abzuleiten; daun liefert die Elimination von dy aus den beiden Differentialgleichungen erster Ordnung das gesuchte Integral. 1st das niclit miiglicb, so kann man
zweimal differentfieren usw.
Sehen wir zu, unter weichen Bedingungen die Methode anf die
Gleichung:
dx _dy
{x j/ Y
anweudbar ist, wo X, Y zwei gleichartige Funktionen von x bzw. y
bezeichnen. Schreiben wir:
(24) d x =d-y d t
wo t eine Hilfsvei~rdderliche, T eine Funktion von t ist. Es folgt:
iund hieraus dureli Differentiation:
2 Td Tdx~+2 T'd'x dX 2 Td Tdy +2 TYd2y d Y
(25) dt2 dx'I dt2 dy
Setzen wir nunmehr:

x+y==pl x-y=-q, dT==Md~p+Ndq;