Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXV1.

In seiner I n t egr a Ir e h nu ng') kommt E uIe r auf den wiehtigen
Gegenstand wieder zurack. Er bemerkt, daB die von ilim behandelten Gleichungen dazu geeignet sind, die Vorziige der Methode des integrierenden
Faktors gegentiber derjenigen von der Trennung der Yeriinderlichen.
aufs beste zu zeigen; es ist naiilich leiclit ersichtlicb, daB das
Eulersche Integrationsverfahren wesentlich in der Auffindung eines
Multiplikators bestelit. Es ist aber im allgemeinen -niebts weniger
als leicht, Zn einer gegebenen. Gleichung (5) einen passenden Multiplikator 111 zu finden. Man kann sich umgekehrt fragen, weiche
Gleichungen dnrch einen Multiplikator von gegebener' Form integriert
werden k~innen. - Es sei z. B.:
_XY_
wo X, Y zwei gleichartige Funktionen von x bzw. y bezeichnen
m~gen dannmuB:Ydx + Xdy
(+ (3x +ryy)2
ein vollstlindiges Differential sein. Integriert man nach x, so findet
man:
-y
(20) ~(~txr)+ F(y);
integriert man dagegen nach y, so ergibt sich:
(21) -V 1 )
Durch Gleichsetznng der beiden Ausdriicke erhUilt man:
o3x- y Y = oy (a + o~x + yy)[zl (x) - 17(y)].
Da, wegen der Form der linken Seite, alle x und y zugleich enthaltenden Glieder reclits verschwinden mflssen, so ist notwendigy:
A(x) = rniix -t conat., r7(y) ==myy + const.,
wo m eine konstante Gr~fe bezeichnet,7 foiglich:
X y [Mf32X2 + 0 (mc, + n) x + pl,
Y= 13[mrly2 + 7y(mc, - n) y + q],
wo n, p, q konstante Gr65Ben sind, zwischen weichen die Beziehlung:
p - q o= n
bestelit. Dureli Einsetzung dieser Ausdriicke in (20) oder in (21)
1) An den S. 796 angefiffirten Orten.