Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Transzendenten. Elliptische Integrale.80

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ds ~2/D dp
i/ +82 = 2ADA- Dp2
Die oben angegebene Methode zur Bildung von algebraisch intogrierbaren Differentialgleichungen von der Form (5~ oder (8) wurde
spalter voli E ul er verallgemeinert 1). Er geht von der Integralgleichung:
(18) a+ 2j(x+y) +y (XI +y2) + 2xy+ 2Exy(x+y) + ~Xy2 =0
aus, und findet eine Differentialgleiehung von der gewiinschten Form.
Da ferner diese 4 Konstanten, (18) aber 5 enth~ilt, so ist (18) das, volstiindige Integral. - 1Iriteressant sirid die Betraclitungen Eulers fiber
die M6glichkeit weiterer VTerallgemeinerungen. Wdire es m~glich, die
Gleichung (8), Wo x2 emn beliebiges Polynom der seebsten Ordnung bezeichnen m~ige, algebraiseli zu integrieren, so waire insbesondere:
(19) dcvx dy
wo P emn beliebiges Polynom der dritten Ordnung 1ist, algebraisch
integrierbar, was nicht iminer stattllndet. 1St X 2vomn frilften Grade,
so geht die Gleichung durch die Substitution:
x It 2 + cc, y =-v2 + ac,
wo cc eine passend gewiihlte Konstante iSt 2), in:
U 17
fiber, wo U2 emn Polynom vomn vierten Grade in u2 darsteilt; wadre
aber diese Gleichung stets algebraiscli integrierbar, so wtirde dasselbe
von (19) folgen, wenn P emn Polynom vom. zweiten Grade in X2
ware, was nicht immner wahr ist. Also ist (8) nuiht im, allgemneinen
algebraiscli integrierbar, wenn die Ordnuing von X2 vier iibertrifft.
Die algebraische Integration ist auch im allgemeinaen unmdglich,
weun X eine Wurzelgr6i13 darstellt, deren Index > 2 ist.
1)Evolutio generalior formularum comparationi ourvarum inserVientium, Novi Comm. Acad. Petrop. XJJ, 1766-1767 (pubi. 1768), p. 42-86.
2) Euler sagt einfach, dal3 man Xv2, y2 statt cv, y setzen mul3. - Ist:
X = A + Bcv + Cx2 + Dx' + Ex'4 + Fxv,
so mub die Konstante a die Bedingung:
erlfillen. A + Bxc+ Ca2+ Da~'+ E04+ Fal'==O
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