Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abscbnitt XXVI.

Theorie der Kugelfunktionen zu f~5rdern und zu erweitern. Er fiihrte
die von zwei Paaren von Verainderlichen #, co, #', o,' abhiaingigen
Kugelfunktionen Y,, ein, stelite die Differentialgleichunag auf, welcher
dieselben genilgen, namlich:
- I 2) + + nQ' + 1) Y,,= 0,
wo u == cos ~ ferner entwickelte er Y,. nach den Kosinussen der
Vielfachen von co -ceo', und gab die Integrairelation:
1 2,r
fYmYndttd0u ftir mi+n.
-10
Die Untersuchungen von Laplace wurden von Legendre in
der znletzt angefillirten Abhandlung wieder auifgenommren und vervollstiindigt.
2. Elliptisolie Integrale.1)
Die Theorie der elliptisehen Integrale, deren Geburt wir in der
vorhergehenden Periode beigewohnt haben, nahrn in der gegenwiirtigen eiuen unerwarteten Anfschwung infolgre einer von Euler in
einer irn Jalire 1754 herausgegebenen anonyrnen Schrift2 ) aufgeworfenen Frage. Es war eben diese Frage, die G. B. Fagnano dazu aufmunterte, die Untersuchungen seines Vaters wieder aufzunehmen, und
dessen Prioriliitsrechte zu behaupten, wiihrend ftir E ule r selbst seine
eigene Frage der Ausgangrspunkt einer Reihe von wiclitigen Arbeiten war.
Urn uns inmitten der groBen Menge von uns vorliegenden
Schriften zu orientieren, werden wir versuchen, dieselben urn zwei
Grundfragen zu gruppieren, niimlich:
A. Beziehuingen zwischen BO-gen eines und desselben Kegelschnittes (E ulersehe Differentialgleichung, Additionss~dtze);
(pubi. 1786); Oeuvres X, Paris 1894, p. 341-419. Dal3 die Prioritilt der Erfindung der Kugelfunktionen L e gend re zukommt, ist ganz unzweifelhaft; siehe
Heine, Handbuch der Kugelfunctionen, IL. Aufl., Berlin 1878, Einleitung
zum ersten Bande.
') i~ber die Geschiobte der elliptischen Integrale f~ihren wir zwei wertvolle
Werke an: Enneper, Elliptische Funotionen. Theorie und Gesehiclite,
II. Aufi., Halle 1890; Bella'cchi, Introduzione storica alla teoria delle
funzioni ellittiche, Firenze 1894. 2) Daf$ diese Sehrift von Euler herrtihfrt,
ergibt sich aus Nova Acta Erud. 1770, p. 433 und aus Novi Comm. Acad. Petrop.
VII, 1758-1759 (pubi. 1761), p. 128.