Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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790 ~~~~~~Abschnitt XX VI.

d (1+ 2b 2cos 2co b 4) b (1 +b2)coso,
dwT (1 + 2b 2cos 2o + b 4) — b2 sin 2co,
und (lurch Integration:
S ~ log' 1 +b1+ 2b sinco)
4 ~1+b - 2b sin co
T log,[(l + b2 + 2 b sin co)(I1 + b2- 2 b sin o~)],
also:
T-S=- lo- Io(l + b2- 2b sin co),
und durch Einsetzung, des Wertes von b
T = S.
Yerschiedene Methoden zur Auswertung von unendlichen Reihen
dureli Integration wurden von Landen') und Fontana 2) entwickelt.
Transzendenten. Elliptische Integrate.
1. Versohiedene Transzeudenten.
Bevor wir auf die elliptischen Integrale kommen, deren Behandlung beinahe das ganze Kapitel einnlehmen wird, wollen wir uns
mit einigen anderen Transzendenten von weit geringerer Wichtigkeit
beschuiftigen.
Nur wenige Worte werden wir einer Sebrift Eulers fiber unstetige Funktionen ) widmen. Euler bezeichnet diejenigen Funktionen,
als,,unstetig", die sich nicht durell einen einzigen analytischen Ausdruck darstellen lassen; so ist z. B. eine Polygonallinie das Bild euler
unstetigen Funktion. Nun fragt sich Eul1e r, oh man solehe Funktionen in der Analysis zul1assen darf. Dazu bemerkt er, daB die Integration der partiellen Differentialgleichungen willkiirliche Funktionen
einfiihrt, und daB man sich folglicb, wenn man alle Lo~sungen er1) A new method of obtaining the sums of certain series, Math.
Mem. I, p. 67-118. 2) Memoria sopra la somma di alcune serie
(das mir zur Verfuigung stehende, der Universitalts-Bibliothek zu Pavia angeh~rende Exemplar tritgt weder Druckort noch Datum). -) D e usua fu notionum discontinuarum in analysi, Novi Comm. Acad. Petrop. XI, 1765
(publ. 1767), p. 3-27.