Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Bestimmte Integrale.76

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+a 7r
Diese Foi-mel. ist aber nur ein besonderer Fall einer anderen, die
Euler dureli Induktion beweist:
17.') Ein geometrisehes Problem fifihrte Euler zu den Integralen:
(14)fcsA fSfrdP
0 0
Die Berechnung derselben grflndet er auf die spaiter als Eulersches Integral zweiter Gattung bezeichnete Funktion:
00
Man findet leidlit die Rekursionsformel.:
(15) r(n + 1) = nr(ni);
es ergibt sich ferner dureli die Substitution x =ky:
nf - Ie kydy Fn
0
Die Gr6lBe k darf nicht negativ, wohl aber imaginar sein. 1st
dann. k == p ~ iq, und. setzt man:
p =-r cos cc, q rsin a,
oder:
r=J/p2~~q2,a==arctg
so0 folgrt:
e-PYcosy+ i sin qy)dy = - n) (cos nax Z: i sin n a),
also:
1)De valoribus integralium a termino variabilis x =: 0 usque ad
X~==oXc extensorum, M. S. Acad. oxbib. 1781; Inst. caic. int. IV, p. 337
bis 3415.