Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Bestimmte Integrale. 759
Es ist vor allem zu bemerken, daB man p und q kleiner als n
machen kann vermittels der Formelnl):
(12) p +nq) (p, q), (p, q +n) - qp q)
ferner ist:
(13) (p, q) (q, p), (p, n) (, q)
q
Durch wiederholte Anwendung der ersten Formel (12) ergibt sich:
(p, q) P - -, +p, q) -P-+q ++-P - (2n +, q)
p $p np
p+qn - +p+ jJ p + + ((j + 1)n + p q),
wo j = oo. Desgleichen ist:
(r, q) r+ q- r+- q jn++ (j + 1)n + r, q),
r n-t +-r jn-{-r
1) Die Formeln (12), (13) lassen sich folgendermaflen ableiten. Es ist:
1
(p + n q) + (p, q + n) J x[ +i- 1( Xn_ ) + ~- (_-xn)n ]d
0
1
-1 ( -"x) n I[x + (i - x)] dx = (p, q),
0
- q(p + n q)+p(p, q + n)
1
-J L " qpn-" l -(1 _n) n +)px-1(i-n)n- j dx:= l(-XT)jO = o
0
woraus sich die Formeln (12) unmittelbar ergeben.
Setzt man ferner in (p, q):
x-=(-1 yn) ),
so folgt nach einfachen Umformungen:
0 1
/* p-n r p-n
(p, q) J y2 (l _ yn) n dy:y = yq-(1 l n)- d y (q, p).
1 0
Endlich ist:
(p, n) P-j 1 dx =[XpI 1
0n,
(n, q) = (q, n) = 1
q