Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

75 6 Absehnitt XXV1.
M,-an verlangt, eine solehe Funktion v von x Zn finden, daB ffir
jeden Wert von n die folgenide Relation besteht:
Jxn dv = ex-it Jxan 'dv.
0 0
Wir setzen, der Einfachheit wegen, ax= 1 vorans. Weinn
die geschriebene Relation gelten soil, so muB sein:
(10) fx(dV = cjjjf 'V + v,
wo V eine Fnnktion von x bezeicihnet, die fuir x ==0 und fUr x = — 1
verschwindet. Es ergibt sich hieraus dureli Differentiation:
(n + b)xlldv =- (n + a)Xn- dv ~ (.n + b)d V,
woraus erhellt, daB d V den Faktor xn- I und foiglich V deni Faktor
XI' enthalten muB. Setzt man daher:
(n + b) V == X
so ist:
(n + b)xdv =- (it + a)dv -F n Qdx + xd Q,
eine Relation, die erf-Cillt wird, weun man setzt:
(x - 1)dv = Qdx, (bx - a)dv = xdQ.
Hieraus folgt:
(lQ _(bx -a) d (a + 77
Q x~~~~xalso:
Q = x(X - )-a,
und:
V = Cxn,+ a(x - )
eine Funktion, die, wenn b> a, fMr x:= —0 und ftir x l wirklich
verschwi ndet; ferner:
dv- Qdx - Xa (X - 1)b-a-ldx.
Die Rekursionsformel (10) wird also:
fn+a (X - 1) - a -ldx
- n+S Jin a-lX - )b-a-ld + -~ ~- a,
worans folgrt: