Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Bestimmte Integrale.75

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fX Xn+P-2 xn'Cos ~~x ev
wo p <un, wird durch Zerlegung der zu integrierenden Punktion in
einfache BrUche berechnet, naclidem man bemerkt hat, daB die Nullwerte des Nenners durch:
n nt - it __.n
gegeben sind, wenn:
X C0s (0 + i sill 6)
ist. Man findet ferner:
__ Cos +P2xco-+u
dex x n - 2 nCS#+1x x2n ~2 n COS t+1
Unte deninteressanten Bemerkungeni, zn denen dieses Integral
AnlaB bietet, moge eine hervorgehoben werden. Die zu integrierende
Funktion verandert sich nichi, wenn man qf~ durch 4# -+ 2kz ersetzt,
wiihrend der Wert des Integrales ein anderer wird. Welcher ist, fragt
sich Euler, der walire Wert des Integrales? Alle sind es, antwortet
er, denn soiche Integrale sind unendlichvieldentige Funktionen, wie
sich ans dem. Beispiel von ft x. ersehen 168t.
8.1) In eiuem. Sebreiben an Lagrange vom 26. Januar 1775
teilte ilim Euler die Formel:
fkx- 1)dx~lg
0
mit. Lagrange bewies diese Formel und legte Euler die weiteren
vor:
b
- m d x i,
Jlog x x -
00 ~~~~~~(n -+ 1)7c
tang -2 2
-- -- -- == log - - (rn+ 1):T.2
(i + Xr) logxV tang 2r -
0
')Lagrange, Oeuvres XIV, Paris 1892, p. 241, 242.-Euler, Observationes in aliquot theoremata illustris cle la Grange, Opuscula anal.
II, Petersburg 1786, p. 16-41. - Siehe audh: Eul er, D e iter ata inte gr ati on e
forinularum integralium dum aliquis exponens pro variabili assuruitur (1776), Nova Acta Acad. Petrop. VII, 1789 (publ. 1793), p. 64-82.
I') Uber dieses und einige damit verwandte Integrale siehe audi: En 1 e r, U b e r io r