Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXV1.

durch elementare Funktionen ausdriickbar sind, sich dennoch, zwischen
gewissen Greuzen genommen, durch zweckm~i13ige Kunstgriffe berechnen lassen. Euler hat sich mit der bestimmten Integration mit
Vorliebe beschiiftigt, und sein Name wird so gut als vollst'aindig das
gegenwiirtige Kapitel ausfililen.
Zuniicbst eine kleine Bemerkung. Die heutige Bezeichnung:
1(x) dx
a
wird in unserer Periode noch nicht gebraucht (s. o. S. 232); man sagt:,Jf(x) dx von a bis b erstreekt", oder:,d Ji(x) dx, wo das Integral
fuir x = a Null ist, und nach der Integration x == b gesetzt werden muIY'.
Eine andere Bemerkung, die allerdings fast tiberflilssig e rscheint,
ist diese: Euler behandelt ohue jedes Bedenken als gewbhnliche
Integrale diejenigen, die wir heutzutage als uneigentliche Integrale
bezeichnen.
Bei der Unm~5glichkeit, alle von E uler berechneten Typen von
bestimmten Integralen anzufiihren, werden wir die interessantestein
unter ihnen erwii'hneii.
1.') Das Integral:
H fx-'dJX (1 - Xg)n
liil, wie man leiclit beweist, die folgende Rekursionsformel zu.:
Hn~f+ng [nJ1+ Xf~l-x)]
Setzt man daun:
I, fxf- dx (I - xQ
0
so folgt hierans:_ng
n f +ng n1
es ist aber J1= - foiglich:
Ist g unendlichklein, so kann man setzen:
1)Evolutio formulae integralisx~f-ldx(logx) n integratione a
v aIo r e x =O a d x = 1 e xte n sa, Novi Colum. Acad. Petrop. XVI, 17 71 (publ.
1772), P. 91-139; Inst. cale. int. IV, p. 78-121.