Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Differentiation und Integration.73

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~dxJdy
die Integration nach y zwischen soichen Grenzen erstreckt werden?
die, den Fall eines rechtwinkligen Integrationsbereiches ausgenommeni,
von x abhii'ngig sind, und sich dureli Auflsung der Gleichung
der Begrenzung nach y ergeben. Dagegen sind die Grenzen der
zweiten Integration konstant; sie sind die RuBersten Werte vo x
und ergeben sich aus der soeben erwiihnten Gleichung, wenn man
dx = 0 setzt; mit anderen Worten, man muB, wenn f (x, y) = 0
die Gleichung der Begrenzu-ng ist, y zwischen f == 0 und 1 = 0 eliminieren und daun nach x aufldsen.
Nachdem E uIe r auf diese Weise die Grundlage der Theorie der
vielfachen Integrale gewonnen hat, kommt er auf das Problem von
der Transformation. Dazu bedient er sich, dern Wesen nach, derselbein
Methode, die in den heutigen Lehrbiichern fiblich ist. Er bemerkt,
daB, weun man:
x= t+M + UTim g 1t/ - ml-u M
setzt, das Element der Basis (so nennit Euler den Integrationsbereich), das friiher dxdy war, jetzt durch dtdu dargestelit wird. Es
ist andererseits nicht dxdy == dtdu; aber es gibt keinen Grund dafiir,
daB die statt dxdy einzusetzende Gr~ie den gleichen Wert baben
miisse. Um nun die Transformation auszufiihren, setze mnan zuerst
u anstatt y emn, so daB y als eine Funktion von x, u betrachtet werden darf; es folgt bieraus:
(6) dy ==Pdx + Qdu.
Da aber x wiihrend der Integration nach u als konstant anzusehen ist, so reduziert sich dy auf Qdtu, und es ist:
JZdxdy fxJ QZdu =JufQZdx.
Ersetzt man nun x dureli semnen Ausdruck in t4 u, und ist:
(7) dx = —lidt + Sdu,
s oergibt sicb, da u bei der Integration nach x konstant bleibt:
fZdxdy =, fdfZldt fQz-Rdtdu~.
1st aber:
(8) dy =- Tdt + Udu,
so folgt wegen (7) aus dem Vergleich von (6) und (8):
CANiTOR, Gesch ichte der Mathematik 1V. 48