Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Differentiation und Integration.73

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F. Differentiation und Integration unter dem,
Integralzeiche~n.
Diese schwierigen Fragen, welehe den Scharfsinn der gegenw~irtigen Mathematiker gepriift haben, wurden von E ul er ganz einfach
behandelt.') Ist P, sagt er2), eine Funktion von z, U, und setzt man:
JPdz 8,
so ist:
(4) f dz as
man hat n~imlich:
woraus (4) folgt. Es ist ferner:
(5) J~~~~Sdu zJ Pdut;
setzt man naimlich:
~fSdu:= IT,
so folgt:
CU S PZdUa
also:
woraus sich (5) ergibt.3)
Spiiter stelite Euler die folgenden Saitze aulf4):
')Die Differentiation unter dera Integralzeichen wurde schon von Le i bnii
gebraueht (diese Vorl., 1112, S. 231). 2) Nova methodus quantitates
integrales determinandi, Novi Comm. Acad. Petrop. XIX, 1774 (pubi. 1775),
p. 66-102; Inst. caic. int. IY, p. 260-294. 3 Fontaine (a. a. 0.) beweist~
diesen Satz wie folgt. Es ist:
f'd x' -,Adx==d, dx,
andererseits hat man:
f'd x' - fdx=J(tt'dx'- Ldx) fd tud x),
also:
d firdx =fd pdx)
4)Uberior explicatio methodi singularis nuper expositae, integralia,
alias maxime abscondita investigandi (1776), iNova Acta Acad. Petrop.
IV, 1786 (publ. 1789), p. 17-64. - De insignibus proprietatibus forranlarum integralium. praeter binas variables etiam earum, differentialia cujuscunque ordinis involventiunm. (1777), Nova Acta Acad. Petrop.
IX, 1791 (publ. 1795), p. 81-97.