Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Differentiation und Integration.73

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valen a'a flla,a... ansehen; man hat dann aniniherungsweise:
b'== b-F A(a'- a),
b"=~ b + A (d'- a) + A' (a" - a'),
b"'=:- b *+ A(a'- a) + A'(a- a') + A" (a"' - a"f),
Will man eine gr6Bere Annilherung erreichen, so kann man
X fPdx setzen, wo, P als konstant in jedem Teilintervall angesehen wird; es ergibt sich so:
y =b + Xa(x - a) + 4-2 PajX- a)',
Wo Xa Pa die Werte von X, P ffir x == a bezeichnen.
Alexis Fontaine (diese Vorl., 1112, S. 587)') gibt ohne Beweis
die folgende Anniaherungsformel:
J'(x) dx n-1L ( ) f(X) nv. (2~))
L a pla ce wurde von sem~en tiefgehenden IUntersuchungen fiber
Wabrscheinlichkeitslehre zum Probleme gefifihrt, das Integral:
sus... cpdx,
wo u, u',.., p Funktionen von x bezeichinen und s, s'. sehr grol~e
Zahlen sind, in eine konvergente Reibe zu entwickeln. Die Er~rterung dieses Problems und die verwandten Untersuchungen fiillen eine
Abhandlung von mehr als 130 Seiten auS2); wir miissen uns damit
begnulgen, die Grundlage den L apia ceschen Behandlung wiederzugeben.
Setzen wir:
y = y(x) usu's'... 'p, y (5)=Y,
__ydx -_ XV()=,y Y-1
dann ist: dy vx) vf)=Uy=Y;
dx d 2X vdv d'x vd(vd(v... dv))
') Meinoires donne's ~, I'Acadeimie royale des sciences, non imPrime's dans leur temps, Paris 1764. 2) Me~moire sur les approxi'nations des formules, qui Roilt fonctions de tr~s grands nombres,
Win Acad. Paris 1782 (pubi. 1785), p. 1-88, 1783 (publ. 1786), p. 423-467;
Oeuvres X. Paris 1894, p. 207-291, 293-338.