Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Differentiation und Integration.73

733

Daniel Melanderhj elm') (1726-1810; siehe oben S. 28) versuchte den Ausdruck:
d V == eflvxnl (a + bx +.)PS~dx,
wo:
B=c+fx+yx2+..., S==h+kx+Jx2 + '
ist, dadurch zu integrieren, daB er:
Y= enxXm+l (A +Bx +..}Rp+lsq+l
und insbesondere:
ajenxxmIPSqdx ==AnX,+~~~~
bJ exxrn+1iPS~dx -Ben1xXm+2_Bp+ISijl,
seze wa Ibr wie er anscheiinend nicht bernerkte, i lgmie
E. Reihenintegration, angen~herte Integration.
Die Reihenintegration wurde in unserer Periode urn so hdufiger
gebraucht, als man sie, ohne auf deren Zuldssigkeit zu achten, als
ein ganaz ailgemeines lintegrationsmittel betrachtete. Aber eben darum,
daB sie ohne jedes Bedenken angewandt wurde, gab sie zu keiner theoretischen EriirterUng AnlaB; man beschr~inkte sich darauf:, das aligemeine Glied der Entwicklung in jedem besoiideren Falle zn ernmitteln.
Wir k~innen uns also fiber diesen Gegenstand ganz knrz fassen.
Euler widmet der Reihenintegration emn besonderes Kapitel
seiner Integralrechnung, wo er rationale und irrationale Integrale
dureli diese Methode berechnet; weitere Integrale werden auf gleiche
') Integratio formulae differentialis
Nflxxrndx (a + bx + cx2 + kx-' + Ix4 + etc.) (e + fX + gX2 + etc4"P
in qua N est numerus cuius logarithmus hyperbolicus est unitas,
quantitates vero n, m, a, b, c, k, 1, e, f, g, h, r, t, p, q quaelibet datae
(1798), Nova Acta Acad. Petrop. XII, 1794 (pubi. 1801), p. 114-124.
2) Sind nalmlich B, S Polynome von den Ordnungen r-, s, so ist e.RjJPSfI
von der Ordnung M +rp +sq, und foiglich -I enxxm.RPS~Idx von derselben
Ordnung, wilhrend xrn + 'BP +1 + von der Ordnung:
ist. rnt+1+r(p+ 1)+s(q+ 1)