Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Differentiation und Integration.72

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fdp f dq'
W-nicht liefern k~nnen; er berechnet diese Integrale auf
anderem. Wege, und beweist, daB seine Formein mit den E uIe r schen t):
- logr tang (-+ log)tan
flbereinstimmen.
Die zn (2) analogen, fUr die llyperbelfunktionen geltenden Formein finden sich in den Institutiones, analyticae von Riccati
und Saladini2).
Noch bevor die R ic ca t ischen Briefe an die Offentlichkeit traten,
widmete Fontana das erste seiner oben angefifihrten Opuscula der
Untersuchung der vier folgenden Integrale, die, sagt er, soviel ich
weif3, niemand bisher betracbtet hat:
I. Os oPn da p
hier bezeichnen m und n positive, ganaze oder gebrochene Zahien.
Font an a schickt vier Rekursionsformein voraus, weiche:
za, Zdz
J('~ b z?n)P
beziehentlich mit:
Fzndz Y ndz C n +n 'd z'
verbinden. Wendet man auf die vorgegebenen Integrale die Substitution x cos wp an, so lassen sich die dadurch erhaltenen Integrale
ffir ganzzahlige m, n vermittels der erwiihnten Rekursionsformein in
alien Fall~en berechnen. Sind m, n nicht zugleich ganzzahlig, so ist
die Integration nicht immer ausfillirbar; Fontana erdrtert aber einige
Fiille, in welohen die Berechnung der Integrale m6glich ist.
Carlo Maj3 ) berechnet durch partielle Integration (emn Yerfahren, das er, mit Beschriinkung auf die von ihm betrachteten Integrale, ausfibhrlich beschreibt) die Integrale:
fog xndx und J X~,rnlog Xnldx,
und leitet hieraus die Integration von fxdx Ab es ist namlich:1)Euler, Recherches sur l'effet des moulins hi vent, list. Acad.
Berlin Xii, 1856. 2)T. II, p. 15 1. 8)Diversi metodci per l'integrazione di alcune formole logaritmiche, Atti dell' Accad. delle Scienze
di Siena detta dei Fisiocritici III, 1767, p. 278-300.
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