Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Differentiation und Integration.72

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sich auch Carlo Francesco Gianella1) (s. o. S. 681). Er beliandelte das Integral fr Xn dx, wo:
X-=x~xn+ x" -. m>m'>m">... fair r>O;
X=f~gxm~hxm'+..., M < M'<* f.. Pir r < 0,
und suchte erstens hinreichende Bedingungen daffir aufzustellena, daB
die Integration in gesehiossener Form ausffibrbar sei, zweiten S die
Gesetze ziu bestimmen, denen die Koeffizienten der Reilie gehorchen,
durch weiche das Integral im ailgemeinen ausdrtickbar ist. DaB aber
die von ibm angegebenen Bedinguingen inicht hinreichend sind, Mit
sich leiclit ersehen.
J acroix9) bemerkte,2 daB einiige Integraile, wie z.B.
Rekursionsformeln zulasse-n, weiche den fMr die binomischenlIntegrale
geltenden analog sind, u-nd daB sich andere adf mebrere aufeinaanderfolgende binomische Integrale zurilckftihren lassen. Es linden sich
auch Rekursionsformein bei Fontana') (s. u. S. 725), Lorgna 4) und
Fris i ).
Es m6gen schliefflich einige Untersuchungen von C ondorcet6)
kurz erwhihnt werden,7 weiche eine gr6Bere Tragweite haben. Unter
den von Co ndo rceet aufgestellten Sditzen heben wir den folgenden
als Beispiel hervor:
1st:
wo Ai eine gainze rationale Funktion von x VOM ileGrade bezeichnet,
so lIdBt sich das Differential ydx auf die Form Pdx ~ Qdy bringen,
wo P, Q rationale Funktionen von x, y sind, und Pdx -I Qdy emn
exaktes Differential ist; unter denselben Voraussetzungen IliBt sich
exydx auf die Form eines exakten Differentials ex(Pdx + Qdy)
bringen.
Es ist aber zu beachten, daB Condorcets Beweise sich einzig
und allein auf die Abziihlung der Konstanten stlltzen, eine Beweis')De integratione indefinitinomii, Misc. Taur. IV, 1766-17697 P. II,
p. 253-271. - De fluxionibus earumque usu, Mailand 1777, ~ 68ff.
2) Trait6 de calcul differentiel, Art. 395 ff. 3) Analyseos sublimnioris opuscula, Venedig 1763, Op. I. 4) Opuscula mathematica et
Physica, Verona 1770, Op. V. 5) Pauli Frisii Opera, Bd. I, Mailand 1782.
6) The'r?~mes sur les quadratures, Mgm. Acad. Paris 1771 (publ. 1774),
p. 693-704.
CANMTR, Geschichte der Mathematik IV. 47