Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Differentiation und Integration.72

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von diesen Integrralen lIRBt sich das erste durch die Substitution:
v =ii~u
berechnen, wiihrend das zweite in das erste dureli die Substitution
I = ftibergeffiihrt wird.
Noch andere, aber nichts wesentlich Neues darbietende Integral(finden sich in dem. oben angeftiihrten Anhangre zurn ersten Bande der
Mathematical Memoirs von L a nden.
Der unten noch 85fters zu erwiihnende G. F. F a gnia no gab ') einen
neuen Beweis des Satzes, nach welehern sich die Integration von
( — eX~n)d wo m und n beliebig sind, p aber ganz und positiv ist,
auf diejenige von - ~ zuriickfiihren l113t.
C + ex
Eine Bernerkung, Euler s 2) verdient, trotz ihrer Einfachheit, hervorgehoben zu werden. Niclit alle Integrale, die durcli elementare
Funktionen ausdriickbar sind, lassen sich dureli eine Substitution
rationalisieren; es komnint zuweilen vor, daB emn Integral sich in eine
Summe von Integralen zerlegen lIilt, deren jedes einer besonderen
Substitutioni bedarf, urn rationalisiert zu werden. Dieser Umstand ist
in den oben behandelten Integral en wiederholt vorgekomme-n; emn
weiteres Beispiel ist:
__ V4~ dx.
Auch die binomischen Integrale:
jxm-1(a + bxn)' dx
waren scion von Newton (diese Vonl., 1112, S. 185-186) behandelt.
worden; er hatte die beiden Fiiile enledigt, wo -M oder In + IL galzzahlig ist. Euler3) setzte sich vor, die Integrierbarkeitsfiille direkt,
aufzufinden; er kamn selbstverstiindlich auf die zwei iNewtonschen
FMille, und ftigte hinzu:,,acile autem intelligitur alias substitutiones,
huic scopo idoineas excogitari non posse". Es soilte aber noch emn Jahrhundert dauern, bevor diese Behauptung bewiesen werden konnte.4)
Auf die binomischen Integrale bezieht sich das Schriftehen:
) The or e ma c aIc uIi i n te gralIi s, N. Race. d'opuscoli scientifi ci e filologici
IXXII, 1772, op. III. 2) Supplementum calculi integralis etc. (s. o. S. 716).
-Specimen integrationis etc. (ebenda). ') Inst. calic. int. I, p. 67.
4) Bekanntlich wurde der Beweis zuerst von Tchebycheff erbracht (J. de Liouviule XVIII).