Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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714 ~~~~~~Abschnitt XXVI.

-in sin (in - IF
setzt man Tp == nca und bezeichnet mit a, d3 y konstante Grd~en,
so nehmen diese Integrale die folgende Form an:
_ dco a sinrn co~(3fcosminco
(1) ~~~~~ ~~- m si __s + Jcosnc
Ji n-r co si r Po
Es ergibt sich also der Satz, von welehem Eunie r auch einen
direkten Beweis liefert: Jedes Integral vom Typns (1) ist durch elementare Funktionen ausdrilckbar. Der Satz liUlt sich wie folgt veraligemeinern: Sind P, Q rationale Funktionen von x so ist:
Ppxrl+ Qxnl d
dx
(a + bxn) n
integrierbar; sind P, Q rationale Fnnktionen von sin 2 n co, cos 2 n co,
so ist:
f(P sin mco ~ Q cos mco) d. sin nCon
integrierbar.
So niitzlich aber die Theorie der imaginiiren Gr8513en sein mdchte,
so konnte sie nicht umhin, bei der bisher erreicliten unvollst~indigen
Entwicklnng, zn Paradoxen zu fifihren. So warnt d' Al e m b e r t1) daB
man vorsichtig verfaliren muI3, so oft man mit imaginairen Gr8JBen zn
tun hat. Es ist z. B.:
f u d~u du i}'du \~ + ui
Setzt man u = iv, so folgt fibereinstimmend:fl~U2-~if___2-2loglV logl lo1 1
setzt man dagegen u =-iv, so hat man:
fi-O= -ify V2=-2 V
worans sich nur dann das frilliere Resnitat wiedernm ergibt, wenn
statt v nicht - iu, sondern iu gesetzt wird.
1) Opus eules, math'imatiques, T. VI, Paris 1773 (Remarques sur le
m6moire: Suite des recherehes sur la figure de la terre).