Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Differentiation rind Integration. 705
dann ist x die gesuchte Funktion. Es ergibt sich niimlich:
j~dx ==px -fxdp =px -J4dx' =- px -x,
fdx - qx -f dq =qx -Jq'dx' = qx - q'x'+ +fxdq
= qx - q'x' +fdx" qx - q'x' ~ x",
dx rx -fxdr = rx -fr'dx'= r-x - r'x'+fx'dr'
=rx -r'x'+Jr dx" = rx -r'x' +r" x" - fx d rf'
=rx - r'x' + r"x" - Tx"' r x - r'x' + r" x" - x'
Euler beriicksichtigt auch den Fall, in welchem verlanigt wird,
daB einige der Quadraturen b dx, fdx,... bestimmten Typen angehdren mdgen. Ein verwandtes Problem ist folgendes: Zwei soiclie
Funktionen q, z einer Verlinderlichen t zn finden, daB dz algebraiseli
is fndz- q2 _I sich durch einen Kreisbogen ausdriieken ]Th~t.
Man nehme dazu eine willktrliche Funktion u vo-n 1, und seize:
v=, I x ==- y jpx =px -,y p —px -
dt
z =J-/X-2 +y2 q zji+ p2.
daun findet man:
x A2 d
fqz /i7-v2 J z n y
Man kann sich vornelimen 1), alle Differentiale d W zn bestimnmen,
die mit zwei oder mehreren vorgegebenen Funktionen p, q,... multipliziert algebraisch integrierbar werden. FUr zwei Funktionen p, q
wird die Ldsnng des Problems durch:
d - (dqd'v - dvd2q) + q(dvd'p- dp d2v) + v (dpd2 q - dqd2p)
(pdq -qd p) 2
oder, nach der heutigen Schreibweise, dureli:
d t p'q'fv PI
P q v
')Euler, De formulis clifferentialibus, quae per duas pluresve
quantitates datas multiplicatae f iant integrabiles (1776), Nova Acta,
Acad. Petrop. VII, 1789 (pubi. 1793), p. 3-21.