Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXVI.

fachere Aufl6sung des folgenden Problenies e-utwickelt: Ist die Funktion
f (x, y) gegebenl, und sind x, y bekanute Funktionen von t, u, so sollen
die Ableitungen jeder Ordnung von f(x, y) nach x, y dureli t, u ausgedriekt, werden.
Nieolao Colletti'), Geistlieber und Professor der Philosophie,
bemnerkte die folgenden Anualogien, die sich freilich aus der Definition
des Differentiales von selbst ergeberi: Die m'e Differenz von:
d(d +1)...-(d +m -l)
ist konstant; dasselbe findet fuir das rnte Differential von:
XM + apxmn - I... + am
statt. Die m'(' Differenz der mnten Potenzen der nattilrlichen Zahien
ist konstant; dass elbe geschiebit vom I1ten, Differentiale von xrn., Die
inlte Differenz von:
d(d-i-n)... (d +(m -l)n)
ist m!nm; das ml(, Differential von xml ist m!dxm.
Zum Sehiusse mtissen wir einige Betraehtungen Eulers fiber
die unendlicbkleinen rind die unendlichigroBen Gr~ien erw~h-nen 2).
Euler bemerkt, daB es neben den unendlichgrol~en Gr6IBen, weiche
dureli ganze und gebrochene Potenzen von x dargestelit werden, noch
anldere gibt, deren Ordnung nim n dlicb kliejer ist als die von x, fuir
jedes noch so grol~e n. Eine soiche ist log x, wie sich durch
L'lHospitals Regel nachweisen Idift; andere derartige GrdBen sind
log log x, log log log x usw. Dagegen ist die Ordnung von ax gr6iBer
als die von x~' ffur jedes noch so groBe n.
Das logarithmisch Une-ndliche niennt Fontana3) infinitum ordinis semper infinitesimi oder infinitum paradoxum. Gre1785), enthielten die Archive der Akademie noch 14 ungedruckte Schriften,
die in einem Supplementband (Me~moires XI) zusammen mit 4 Seliriften von
Schubert und 13 von Futi publiziert wurden. Selbstverstiindlich milssen wir
alle von Euler hinterlassenen Seliriften als unserer Periode angehi5rig betrachten,
wenn sie auch viel spater zum Druck gelangt siind.
1) Colletti, Dissertazioni d'algebra, Torino 1787 (1. Dell' uso, dei
segni +-, e - nel calcolo delle quantit5y 2. Consenso del calcolo differenaziale Col
calcolo delle quantitb, finite. 3. Metodo, per deternminare nelle curve la ragione
delle coordinate, dalla ragione della differenza delle coordinate fra di loro, ovvero
deli' una, o l'altra, o di amenedue insieme coll' arco corrispondente. Saggio nelle
sezioni coniche). 2) Euler, De infinities infinitis gradibus tam infinite magnorum. quam infinite parvorum, Nova Acta Acad. Petrop. 1778,
P. I (publ. 1780), p. 102 ---118. 3) Disquisitiones physico-mathematicae,
nunc primum edit ae, Pavia 1780. Disq. 13. De infinito logarithmico.