Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Differentiation und Integration.69

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A==+2 B==~F +A-L~1=~~2 —...
2' ~2L2 6J24 8'
und: ~ d ~d+u+ ~2 +.
dx~ 2 dx~~ A124 8 - dx Z+
Flir negative Indices hat man dann:
es ist insbesondere fuir den Index -1:
'u= fudx + au + 1j +
wo a, Oy... die Werte von A, B,.. fMr At == - 1 bezeichnen. Dureli
diese Formel kann man die Summe einer Reibe angeben, deren allgemeines Glied bekannt ist.
Die Formein von Lagrange sind von P. S. Laplace') auf eine,
andere Weise bewiesen worden.
Einiger kleineren Beitrdige m~tissen wir hier Erwiihnung tun.
Johann Friedrich Pfaff (s. o. S. 216) gibt in seinem, Ianguraiprogramni von 17882) eine -neue Methode zur Aufstellnng der
Grnndformeln der Differentialrechnung. Semnen Ausftihrungen liegen
die beiden folgenden llulfssiitze zugrunde: a) Sind x, y unabhAngige
Veranderliche, P, Q, PI1, Q1 Funktionen von x, y, so folgt aus:
Pdx -1 Qdy == P~dx + Qjdy
notwendig P = P,1, Q - Q1; b) Sind X, Yf iihnliche Funktionen von
x bzw. y, und ist X == Yf, so folgt X == Y f const. - Will man nun
die Ableitung von log x ermittein, so setize man dlogx - - (Px); es
d x
foigti dann ails:
durch Differentiation: gXY g +og
also: (p(xy) (x dy + y dx) == (p(x) dx + wp(y) dy,
und hieraus: F(y T() (x)=PY,
M')Ilmoire sur 1'inclinaison moyenne des orbites des come'tes,
sur la figure de la terre, eti sur les fonctions, W~m Sav. iltr. VII, 1773
(publ. 1776); Oeuvres VIII, Paris 1891, p. 279-321. 2) Programma, inaugurale, in quo peculiarem differentialia investigandi rationem ex
theoria functionum deducit; simulque praelectiones proximo seinestre hiberno habendas indicit J. P. Pfaff, Helmstidt 1788.