Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Differentiation und Integration.69

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Definitionen von Funktion und Grenze gegeben, und die Grunds~itze
der Grenztheorie aufgestellt. Das 1. Kapitel beginut mit, der La -
grangeschen Definition der Ableitung; es werden dann, wie schon
gesagt, die Ableitungoen, der elementaren Funktionen bestimmt und die
Hauptsiitze der Differentialrechnung nachgewiesen, und es wird zum
Schiusse gezeigt, daB die Ableitung die Grenze des Zuwachsverhiiltnisses ist, was zur oben angeftilrten Definition der Differentialrechnung ffflhrt. Das 2. Kapitel behandelt die analytischen Anwendungen
der Differenti airechnung: Reihenentwicklungen, unbestimmte Ansdrficke,
Maxima und Minima. Benierkenswert ist hier die Untersuchung
einiger F411e, in weichen die Taylo rsche Reihenentwvicklung niclit
zullissig ist. Hat man:
f(x) == (x - an
wo n positiv und kleiner als 1 ist, so enthailt das erste Glied der
Entwicklung eine positive Potenz, die iibrigen aber s~imntlich negative
Potenzen von (x -- a), -und -man kann also nicht a = 0 setzen. Das
rillirt davon her, daB (x - a + k)n sich flir x == a auf kn, d. h. auf
eine niclit gauze Potenz von k reduziert, was mit der ailgemeinen
Form der Eutwicklung niclit vertriiglich ist. Ist f(x) aligeinein.
irrational, hdrt aber ffir x =- a auf, es Zn Sein, so muB k in t(a +k)
irrational auftreten, und daher kann f (a + k) durch keine Entwicklung nach ganzen positiven Potenzen von k dargestellt werden.
Das 3. Kapitel enthalt eine AbschweifuLng fiber algebraische Kurven,
das 4. und 5D. die Theorie der ebenen Kurven und diejenige der ilaumkurven und Oberilujehen.
Der zweite Band enthiilt die Integralrechinung und zerfiillt ebenfalls in fimnf Kapitel, ndimlich: 1. Integration der F'unktionen einer Verdnderlichen; 2. Geometrische Anwendungen der Integralrechnung;
3. Gewdhnliche Differentialgleichungen; 4. Funktionen von melireren
Veriinderli chen; 5. Variation srechnung.
Differentiation und Integration.
1. Differentiation.
Die Differentialrechnung war in alien iliren wesentlichen Teilen
'von Leibniz geschaffen worden und hatte noch am Schiusse der
vorigen Periode in Eulers Lehrbuche eine ersch~pfende Behandlung
erhalten. Es war also von unserer Periode kein betriichtlicher Beitrag zu erwatrten. Und so ist es wirklich. Nur eines verdient als
ganaz neu angezeigyt zu werden, die Einfifihrung der symbolisehien Bezeichnunag in die infinitesim airechnuing durch L a gran ge.