Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Lolirbileher der Infinitesimialrechnung.69

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Aus dem Yergleich der beiden Entwicklungen folgt der bekannte
Satz (diese Vorl., JJJ2, S. 759, 881):
fx"Y(X, y) =- fj (X, y).
Die Funktionen von mehr als zwei Variablen werden, analog behandelt. Die erste Abteilung des Werkes schliel~t mit der Untersuehung
der partiellen Differentialgleichungen.
Die zweite Abteilung ist den geometrischen Anwendungen gewidmet.
Lagrange bemerkt, daB die Alten die Tangente als eine soiche Gerade definienten, daB zwischen derselben unci den Kurve keine andene
Gerade liegen k~5nue; spaiter betraclitete man die Tangente entweder
atls eine Sekante mit zusammenfallenden Schnittpunkten, oder als die
Verldinge-rung eliner Seite eines Unendlichvieleekes, oder als die
Riclitung der Bewegung, durch weiche die Kurve bescbrieben werden
kbnne. HBieraus entstanden einerseits die algebraisehen, auf die Gleichheit den Wurzeln der Gleichungen gegriindeten, andererseits die differentiellen, die Verhailtnisse von unendlichkleinen Differeuzen oder von
Fluxionen. benutzenden Methoden. Unser Verfahren, fiihrt Lagrange
fort, gestattet uns, die Begriffe und die Methoden der Alten wieder
aufzuinehmen.
Es miigen:
y = f(x), y == F(x)
zwei Kurven danstellen. Damit sie eiuen g-emeinschaftlichen Punkt
besitzen, mnuB sein (fUr einen gewissen Wert vonx)
f (x) = F(x).
Um die beiden Linien in der Niihe dieses Punktes untereinander zu
vergleichen, setzen wir x + i statt x; den Unterschied der beiden
Ordinaten ist dann:
f(x +i) -F(x +i) =-i(f`(x) - F'x))+- (f"f(x) - Ft'(x)).-f
en ist um so kleiner, je melir Glieder reclits verschwinden. Es sei
naunmelir:
y q=9 (X)
eine dritte, durch denselben Punkt gehende Linie, so daB:
ist, und setzen wir: f (x)=F(x) =p(x)
D f(x + i) -F(x + i) =i (f'(x)) - F'(,x)) + -2-(f" (x + j) - F"f(x~)
' f(xji - 9(x +i) i 2'x)9() ~("x i "xj)
CAITOR Gechiht de Mahemti IV.) 45)+2T,( j -T,

CANTIOR, Geschichte der Mathematik IV.

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