Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Lehrbticher der Infinitesimalrechnung. 689
p +O= —p (x + i) =-p +ip' +..,
=f (PI) -H (ip' +-H -)f' (p) +. f (p) + ip'f'(p) +,
also:
Y,=- p' f (p).
Ist nunmelir y == f (p, q), und setzt man x + i statt x in p, so
wird. die Funktion:
f + ip'f,'+ 1)
setzt man dagregen x -1- i statt x in q, so erhiilt man:
es ergibt sich foiglich dureli die gleiclizeitige Einsetzung von x +i
in p und in q:
also:
= r4 + q't;'.
1st y = f (x) eine implizite, durcli die Gleichung:
E (x, y) == 0
clefinierte Funktion von x, und setzt man:
E(x, fAX)) == Tp (,
so erh~ilt man aus T (x) nacli Ersetzung von x durch x + i:
es ist aber cp (x) =- 0 fuir jeden Wert von x, foiglich ist )' (x) == 0 oder:
woraus sich ergibt: F'+yF' 0
Die Regel von L'Ho s pi tal wird folgendermaBen bewiesen. Es sei:
F(x)
ails:
ergibt sich: yF (x) = f (x)
yF 1(x) + y F'(x) ==,()
und hieraus fiur x == a:
')Lagrange bezeichnet die partiellen Ableitungen von f(p, q) nach p, q,
Wlo p, q Funktionen von x sind, mit f'(.p), f' (q), dagegen die Ableitungen von
fox, y) nach x, y Mit f'(, (Iy), A1 (X, y).