Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Die Grundlagen der Infinitesimalrechnuug.69

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Nach G r us on ist seine Methode, die er noch vor der ilerausgabe des L a g r an g e sehen Werkes erfunden habe, einfacher undi licht-,voller als die der Infinitesimairechnung, da sie sich nur wohibekanuter
algebraischer Priuzipien bedient. Man kann aber voraussehen, daB
die Einfachheit auf Kosten der Strenge erhalten wird. Wie es scheint,
nimmt Gr iison als selbstverstiindlich an, daB jede Funktion sich
in eine Reihe von ganzen oder gebrochenen Poteuzen der Ver~nderlichen entwickeln liBt. Sein Verfahren ist folgendes. Ist F eine
Potenzreihe von x mit gainzen positiven. Exponenten, so findet offenbar dasselbe fuir Ftm ftir jedes gauze und positive rn statt; es lIiBt
sich ferner nacliweisen, daB auch ~,und folglich in eine soiche
Reihe entwickelbar ist. Griison will zeigen, daB Fn dieselbe Form
hat wie F. Da Fm und Fn gleiche Form haben, so mub dasselbe, sagt er,
m
von Fn und F folgen. Da aber, fiigt er am Ende seiner zweiten
Abbandlung hinzu, mein Beweis einige Zweifel im Geiste der Geometer nachgelassen hat, so gebe ich einen zweiten an, der nichts zu
wi~nsehen Ubrig 1iit. Enthielte die Entwicklung einer Funktion f
eine gebrochene Potenz von x, so wiirde diese Potenz ebenfalls in f r
vorkommen, weiche audi die ganze Zahi r sei. Nimmt man nun:
n
f== Fm, rz —m
an, So folgt f' r= F"; es wflrde sich dann ergeben, daB Fn eine gebrochene Poteh'z von x enthalten solite, was unmdglich ist. Das
Resnitat kann auch auf irrationale Potenzen einer Funktion F erstreckt werden, freilich aber auf Grund der folgenden Hilfssiize, die,
wie leicht zu sehen, wesentlich der Grenztheorie angeh6ren: K,5nnen
x, y kleiner gemacht werden als jede angebbare gleichartige Gr~1e,
und ist:
A<Btx, A>B-y,
so ist A == B. Ist:
U =-a + a~x +a, 2x+
b0 -1-bo b.,x -1 b2X2 +
W =-CO +cx +C2 X2 +
ferner:
ao = C0, a1c,.-..,an c.
wo ni eine bestiminte Zahi bezeichnet, und ist V fair alle Werte von
xzwischen U und W enthalten, so folgrt:
bo = a0,) b = a1,.. b ==-a~..
Aus dem Gesagten 1i8t sich schlieBen, dal3 jede algebraisehe