Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Die Grundlagen der Infinitesimnalrechnung.66

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Urn indessen nichts unbewiesen Zn lasseri (,,mais pour ne reln
avancer gratuitement"), will Lagrange vor allem zeigen - was
niemand vorher getan babe -,daB die Reibe, ausgenommen fair besondere Werte von x, keine gebrochenen Exponenten enthalten darf.
Kdme ndmlich eine gebrochene Potenz in von i vor, so mIiBte sie
von in f (x) existierenden WurzelgrdBen herruhbren; f (x) wiire also,eine mehrwertige Funktion, und. die Ersetzung von x durch x + i
wiirde wecler die Auzahi, noch die Besehaffenheit dieser Grblen um.iindern, so daB f(x) und f (x + i) fUr jedes Wertepaar x, i eine gleiche,
Anzahl von versehiedenen Werten erhalten wiirden. Andererseits lieI~e
sich jeder Wert von f (x) mit jedem. Werte von in kombinieren, so
daB sich eine weit gr65Bere Anzahl von Werten fUr f (x + i) ergeben
mlflBte, woraus der Widerspruch.
iDieses vorausgeschickt, muB man beacliten, daB, da sich f (x + i)
fUr i = 0 auf f (x) reduziert, die Differenz f (x + i) - f(x) ftir i =- 0
verseliwindet, also eine positive Potenz von i als Faktor enthalten
muB (,,... sera on pourra e'tre cens~e' multipli~e' par une puissance
positive de i"), deren Exponent nach. dem Gesagten notwendig ganzzalilig ist. Man kann also schreiben:
t(x ~ i) = f (x) + iP.
Eine analoge SchluBweise ergibt:
P~p+iQ, Q=q+i-R, BP=r+iS,...,
also:
(3) f(x-fi)=-f(x)+ip~ilq+i'r+..-.
Die Bestimmung von p, q, r,... liiBt sich entweder durch direkte
Berechnung, oder clureli Fortschaffung der etwa vorkommenden Wurzelgr6Ben, oder enadlich durch die Methode der nnbestirn-mten Koeffizienten
bewerkstelligen. Emn Beispiel mag die Anwendung der drei Methoden
erleuehten, wobei wir uns freilich, der Kflrze wegen, auf die Berechnung von p beseliriluken.
Es sei f (x) =J/x. Man hat:
a) iP Y X
also:
und fair i =0:
2 j _
b) /x + i =J/x+iP,