Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXV1.

blick von dem. genauen Verfahren der Elementargeometrie Zn entfernen? Wird man einem ebenen und bequemen Wege einen dornigen Pfad vorziehen, auf welchem, es so seliwer ist, sich nicht zu.
verirren?
Der Standpunkt von C a rnot ist richti g, aber sein Yerfahren ist
weder so einfach, als es sein diirfte, noch ga-nz vollstiindig. Urn nachzuweisen, daB die ungenauen Gleichungen sich durch Vertilgung der
unendlichkleinen GrdBen in genaue verwandein, braucht man nui r die
unendliehkleine Gr~i1e als eine willktirliche Gr6B1e zu defi-nieren; denn,
da nach dieser Definition die unendlichkleinell Grdlen sich so klein
annelimen lassen, daB die aus deren Vertilgung hervorgehenden Fehier
kdeiner sind als jede beliebig, vorgegebene Gr~31e, so sind diese Fehier
genau gleich Null. Es findet also wirkileli eine Aufliebung der
Fehier statt, nicht aber durcli gegeniseitige Ausgieichung (,,comnpensation des erreurs"), wie Carnot meint, sondern dadurch, daB jeder
Fehler fUr sich selbst zn. Null wird. Es ist ferner zu. beachten, daB
sich Carnot mit der Bestiitigung der Tatsache von der Fehleraufhebung begntigt, ohne nach deren Grunde zu suchen; hdtte er das
getanD, so hUtte er den Grund darin gefunden, daB, wie soeben gesagt,
jeder Feller fUr sich verschwi-ndet.
Manche andere Scbriftsteller bemillten sich,2 mit gi'bBerenm oder
kleinerem. Erfolg, die Strenge der Leibnizschen Methode auBer
Zweifel zu legen.
Nach Johann And reas von Segner (diese VTorl., 1112, S. 609, IV,
S. 74)') ist der Unendlichkeitsbegriff bloB emn negativer Begrifi, denn
unendlich ist was keine Greuzen hat; urn auszudrticken, daB zwei
parallele Linien niclit zusammentreffen, sagt man, sie selineiden sich
im Unendlichen. Man kcann aber deni Uniendlichen eine positive
Bedentung geben. Bebauptet man, zwei parallele Geraden haben
einen im Endlichen liegenden gerneinsehaftlichen Punkt, so begeht
man einen desto kleineren Fehier, je grbiBer der Abstand des Puinktes
ist; ware also der Abstand gr8B1er als jede angebbare Griie, so wiirde
der Fehier verschwinden. Bezeichnen wir mit il den Ozea-n, Mit P
einen Tropfen Wasser, so ist es uns unm6glieh, das Yerbiiltnis jTvon
zu unterseheiden, wenn sie auch voneinander sachlich verschieden
sind, denn unser Begyriff von iL und von Mi ~ P ist ganz derselbe;
das zeigt, daB wir fiihig sind, das Verhaltnis 1gewissermaBen zu
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') Segner, Elementa analyseos finitorum, Halle 1758; Elemenltorum analyseos infinitorum Pars prima, Halle 1761, Pars secunda,
ilalle 1768.