Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Die Grundlagen der In-finitesimalrechnung.64

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aber erkennen, daB die Fehler sich aufgehoben haben? Die in den
Rechnungen vorkommenden GrbiBen sind teils bestimmt, wie TP,
]JMP, BP, teils unbestirnmt, wie MN, MQ, NQ; die letzteren schleichen
sich in die Rechnungen emn, wenn wir zur Erleichterung gewisse
Gr~ssen dureli andere ersetzen, die von die~en wenig versehieden sind,
und von diesen ausschlief~lich hiingen daher die Fehier ab, mit welehen
die Resultate behaftet sind. Sobald also siimiliche wilikiirliche GrbH~en
aus den Rechnungen entfernt worden sind, ki~nnen wir mit Sicherheit
annelimen, daB die Fehler sich aufgehoben haben.
Kann eine willkiirliche Grd~e (wie NO) so wenig verschieden
von einer bestimmten (wie MP?) angenomnmen werden, als man will,
so sagt man, die letztere sei die Grenze der ersteren, und die Differenz (niiinlich NQ) sei uneindli dhklein; eine unendlicbkkiene Grbi1e
ist also eine willkiirliche Gr~5e, weiche die Null zur Grenze hat.
Die ungenauen Gleichungen (wie (2)) werden zn genauen, sobald man
die in denselben vorkomnmenden willkiirlichen Gr~Ben dureli deren
Greunzen ersetzt. Dadureli erkliirt sich, wie die scheinbar ungenaue
Regel von der Yernachliissigung der unendlichkleinen Gr~f~en zu genauen Resultaten fillren kann.
Will man aber die Unbequemliehkeit vermeiden, mit ungenanen
Gr~1en zu tun zu haben, so kaun man die unendlichikleinen Grbl~en
als streng versdliwindend betrachten, mit der alleinigen Vorsiclit, die
etwa vorkommenden Verh~iltnisse je zwei solcher Gr8iBen durch
deren Grenzen zu. ersetzen.
Wird also gefragt, ob man die unendliehkleinen Gr,513en als
versdliwindend betradliten muB oder nielt, emn Dilemma, das zu vielen
Diskussionen V/eranlassung gegeben. hat, so Miit sich autworten: man
kann nach Belieben ebenso den einen wie den anderen Standpunkt
behalten.
Ist so die Strenge der Jnflnitesimalrechnung gesichert, so bleibt
nur noch iiibrig, zu b emerken, daB sie die Gre-nzmethode, mit welChrer sie in den Resultaten iibereinstimmt, an Einfachheit weit flibertrifft, insofern sie sich vorsetzt, jeder Grenzbestimmung zu entbehren
uLnd mit bloB algebraischen Rechnungen zu verfaliren. Wird man
also, fragt C arnot, auf die unermeBlichen Vorteile verzichten, die
die Infinitesimalmethode darbietet, aus Fnrcht, sich auf einen AugenVorgainger gekannt hat oder nicht, mn~ge dahingestellt bleiben. Einemn anderen
Vorganger, N. Fijo ren tin o 7werden wir weiter unten begegnen. Es m~5ge hier
audh die Aussage von S e gn er (s. u.) erwilhnt werden, daB das Gleichheitszeichen
in einer Differentialgleichung nicht die Gleichheit, sondern das Streben nach
Gleichheit bedeutet.