Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXVI.

Als Hauptvertreter der ersten Tendenz kann man d'Alemb ert und
Carnot, als llauptvertreter der zweiten kann man Lagrange nennen.
D'Alembert (17 17-1783, diese Vorl., 1112, S. 510) behauiptet'),
das I.nendliche der Analysis sei niclits anderes als die Grenze, weicher
das Endliche sich uinbeschriinkt niibert, ohne dieselbe jemals Zu erneichen. Sagt man also, die GrolBe:
1 +2 +4~8~S +
sei unenidlich, so ist damit nun gernei nt, daB man stets so viele
Glieder den Folge annehmen kann, daB die Summe derselben eine beliebig vorgeschriebene Gnri8e iibertritft. Auf analoge Weise wind das
Unendlichkleine erkilirt. Die Differentialrechnung setzt sich von, die
Grenzwerte den Venhuiltuisse je zweier endlichen,7 durch bestimmnte
Gesetze verbundenen Gr8lBen auszuwerten; sie hat nur mit endlichen
Gr8Ben zu tun; das Unendliche und das Unendlichkleine sind bloB
Kunstwbrter, die die Mathematiker erfuinden habeD, urn die Ergebnisse
ilirer Fonsehungen kllrzer und einfacher aussprechen zu diinfen.
Dem d'Al em benrtschen Begriffe,inach welchem die Infinitesimalrechnung nur eine Grenzrechnung, ist, schlie~f sich Kis tnaer (17 19-1800,
diese Vorl., 11112, S. 576, IV, S. 456)2) an. Nimmt n unbeschriinkt
zu, so hat " die Einheit zur Grenze; das liit sich aber dadureli
2 a~zaI
ausdriicken, daB man sagt, es diirfe die endliche GrdBe b gegen die unendliche Gr6Be an vernachliissigt werden. Auf iihnliche Weise lassen sich die
unendlichen und die unendlichkleinen Gr6i8en der versehiedenien Ordnungen neclitfertigeni. 1st Z eine Funktion von z, welche fMr den Wert
z -H e von z den Went Z + E annimrnt, so heit3t die Greuze, weicher
E
sich -_ bei abnehmnenden E und e -unbeschlirnkt, nuihert, das,Vere I 1
haIitnis der Diffenentiale" von Z und z; E und e heiBen die,,Differentiale". Auf Grund dieser Definition ergibt sich, unter der Voraussetzung, daB n eine ganze positive Zahi bezeichnet und Z ==o 1St:
E 1
lirn - z
e
diese Fonrmel Mitt sich auf jeden reellen Went von n erstreckeii.
Weiten unten imischt aber Ka s t n enr in die Definition des Differeiitials
den Geschwindigkeitsbegriff emn. Die Diffenentiale dZ, dz von Z, z,
sagt er, sind niclit die winklichen Zuwiichse dieser Griien, sondern
die Zuwii'chse, welehe dieselben in einer bestimmten Zeit erbalten
') M61anges de litt., dWhist. et de philos., Nouv. Md., T. 5-, Amsterdam 1767, p. 2.39-252; Encyclope'die m6thodique, Paris 1785, art.,,Differentie1l". 2) Anfangsgrfinde der An. des U.nendl., Hlalle, 1. Aufi. 1761,
2. Aufl. 1770.