Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXIV.

dung benutzt werden. Euler sucht niaimlich eine lineare Kombination dieser Gleichungen so zu finden, daB die rechte Seite in emn
Produkt, iibergeht, urn dann die von ihm so oft mit Erfolgt) benutzte SehluBweise anwenden zu k~innen. Eine soiche ist, wie d'Alembert gezeigt hat, dx + idy.
Hierdureli ergibt sich:
dx +idy=(p + ir) (du -idt cos a).
Euler setzt nun:
so daB:
ds du
dz +-fidt= -~idt.
Es ist dann also:
dx +idy = (_p ir) cos udz,
und wenn die Integration ausfifihrbar sein soll, muB (p +ir)-cos u
Funktion von z, nach ausgefillirter Integration also auch x +iy eine
Funktion von z sein, die mit 2rF(o) bezeiclinet wird, so daB:
iIT(z) -- (p + ir) -cos u
ist. Dann ist also:
x + iy == 2rF(s) == 2r(lg s - it),
woraus sofort folgt:
x - iy.2r(ig s + it).
Hiernach sind also:
x r J(lg s - it) -F I(lg s + it),
iy= rii(g s -it) --- I(lg s +it)
die Gleichungen, welche die allgemeinste winkeltreue Abb iidung definieren. x und y sind dabei stets reell. Die Gleichungen
lassen sich noch etwas umformen, indem s an Stelle von z eingefifihrt
wird vermo-ge der Gleichung
ea = sa (Cos at - i sin at),
wo a eine beliebige Konstante bedeutet. Die Funktion F von z gelit
natlirlich hierbei auch in andere Funktiorn von s Uiber, die mit A bezeichnet wird. Man erh~ilt so:
x =A[Sa(cos at - i sin at)] + AEsa"cos at -F i sin at)],
i y A A[sa (cos act - i sin act)] - A [sa5(cos a t -F i sin a t)].
Das ist, wie Euler bemerkt, die allgemeinste Lb1sung der Aufgabe,
eine Kugrel so auf die Ebene abzubilden, daB die kleinsten Teile
(figurae valde exiguae) ihren Bildern ijhinlich werden. Wir m~chten

') VgI. S. 5,51, 552, 545.