Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Raumkurven und Filichen.57

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Zunaclist werden nun die Bedingungen der Kongruenz dureli
-analytisch-geometrische Betraclitungren eutwickelt und. gezeigt, daB es
niclit m~Sglich ist, diese zu. erftillen. Da also hiernach auf die Kongruenz verzichtet werden muB, kann man andere Bedingungen stellen,
und deren analytischen Ausdruck entwickein. Sollen z. B. Meridiane
nend Parallelkreise sich als zwei orthogponale Kurvensysteme abbilden,
so muB:
09x a3x ay _/
sein; sollen sie insbesondere in die Parallelen zu. den Koordinatenachsen ilbergehen, so mul3:
x =ft;y == 9()
sein. Dies wird auf die Merkatorkarte angewendet. Weiter wird
eine Abbildung gesucht, bei der jedes Stfick der Kugel sich als emn
Stflck der Ebene von gleichem, Fliicheninhalt abbildet, also die
fl~chentreue Abbildung. Da das Fliichenelement der Kugel
= dudt cos u, das der Ebene =dxdy ist, so ist diese Forderung jedenfalls erfillit, wenn:
x =t, y == sin u
ist. Hierbei ist das Buld der Erdoberflicehe emn Recliteck, und natiirlich in den Polargege-nden sehr stark verzerrt.
Nach diesen Einzelbeispielen wird nun die,Hlypothesis, qua
regiones terrae per similes figuras exhibentur", d. h. die winkeltreue
oder konforme Abbildung im heutigen Sinne einagehend behandelt.
Da hierbei das Gradnetz der Erde sicher in zwei orthogonale Kurvensysteme Ubergelit, so ist jedenfalls notwendig, daB, wie oben,
a x ax ay ay o
ist. Euler setzt nun zur Abkiirzung:
Dann ergibt sich als notwendige und hinreichende Bedingung
der Winkeltreue:
dx=_pdu~+rdtcosu; dy==-rdu-pdtcosu.
Die Integration dieser Gleichungen wird. auf doppelte ArtMethodus particularis und. Methodus generalis - geleistet. Die erstere
ist etwas umstiindlich, die zweite dagegen selir bemerkenswert, weil
hier zum erstenmal komplexe Gr8iBen zur konformen Abbil