Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Raumkurven und FIlichen.57

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x -4() + 'I"(j);
y = ()+ a 4'(a) + (6f)-3V'))
z `() Y~1+Od +i, " () V1~+ ~13d} ()
Eine geometrische Darstellung dieser Fliichen vermag Monge
jedoch nur in der Weise zu geben, daB er sie Element ftir Element
zusammensetzt.
Damit werden die partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung verlassen und Beispiele flir solehe der dritten Ordnung in Angruff genommen. Monge beginnt mit den ailgemeinen, Regelflichen (Nr. 29 und 30), und steilt, durch ganz analoge Betrachtungen wie friiher, die sie definierende Gleichung in vie r versehiedenen
Formen auf, niimlich:
1. als partielle Differentialgicichung dritter Ordnung, wobei zur
Abkiirzung___
gesetzt wird. Die Gleichung heiBt dann:
~~Z~3OZ +3a2 +zy ~a3~Z
2. als partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung mit einer
wilIkllrlichen Funktion, und zwar auf drei versehiedene Arten:
p +acq ==qa); y -ax ~ P(a); z -(p +acq) =xZ(a),
wo a dieselbe Bedeutung hat wie, vorher, und Tp, ip, z willkiirliche
Funktionen sind;
3. als partielle Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei
willkiirlichen Funktionen. Man erhiilt die Gleichung dureli Elimination
von cc aus irgend zwei der in 2. aufgestellten drei Gleichungen, so
daB also noch zwei von den drei Funktionen qp, 4,, z in die Gleichung
eingehen;
4. in endlicher Form mit dr ei willkiirlichen Funktionen, nilmlich:
wo a emn variabler Parameter ist, durch dessen Elimination aus den
beiden Gleichungen die Fliiche in die Form F(x, y, z)=0 gebracht
werden kann.
Zun~ichst wird daun gezeigt, wie man aus der partiellen Differentialgleichung dritter Ordnung ganz ebenso wie bei denen erster
und, zweiter Ordnung die Differentialgleichung der Charakteristiken