Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXIV.

mi-niert werden, wobei s von selbst mit herausfhillt. Es bleibt dann
eine gewbihnliche Differentialgleichung 1. Ordnung in p und. q, nilmlieh:
(1 + q) di) - 2jpq dpd(q + (1 + p2)dq == 0.
Diese ist leiclit zu integrieren und ergyibt, wena cc die Integrationskonstante ist:
(l +a2)-(p - cc)2 —0, (3)
d. h. eine Gleichung 2. Grades; die Fliiche hat also zwei Scharen von
Charakteristiken, die durch die beiden Linearfaktoren von (3) definiert
sind. Bezeichnet man die Konstante ffir die eine Schar mit cc, fUr
die andere mit /3, so lauten. die Gleichungen:
Setzt man die aus (4) sich ergebenden Werte von p und q in
(2) eim, so ergibt sich die Differenutialgleichung der Charakteristiken mit
den Konstanten a und /3 an Stelle von p und q. Vorher macht M on g e
noch darauf aufmerksam, daB (2), da:
pdx + qdy =- dz
ist, sich anch in die Form setzen Mift:
(1X2 + d y2 + dZ2 = 0,
d. h. er hat gefunden, daB die Linien von der Liinge Null (in
heutiger Bezeichnung) die Charakteristiken der Minimalflichen
sin d. - Steilt man nun nach (4) die Differentialgleichung der Charakteristiken auf, so zeigt sich, daB sie in die beiden linearen Gleichungen:
dy + ccadx =-0 und dy +/3dx =- 0
zerfijit, von denen jedoch die erste mit der zweiten Gleichung (4),
die zweite mit der ersten zusammengeh~irt, so daB die Differentialgleichungen der beiden Scharen von Charakteristiken schlieBlich sind:
p - ccq iV/1 a2; dy-f-/3dx=0;
(5)
p -/3q= iJ/1-+p2; dy +adx= J
iDie Integration dieser Gleichungren ist schwierig, da im ersten
Paar /3, im zweiten cc niclit als konstant betrachtet werden kann;
durch emn scharfsinniges Verfahren wird. sie aber doch ausgefiflhrt, und
so ergibt sich schliefflich die aligemeine Gleichung der Minimalfliiche n mit zwei willkiirlichen Funktionen 4) und W, allerdings in
imaginkier Form, indem die Koordinaten eines Punktes sich folgendermaBen durch die beiden Parameter a und /3 ausdrilcken: