Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Raumkurven und F~li~chen.59

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tion geben; die Zwischenriiume wiirden Lichit- und Luft~iffnungen darstellen. Ob dieser Vorsehiag jemals praktisch ausgefifihrt wordena ist,
ist mir nicht bekannt. - Als Anwendung der hier entwickelten
Theorie der Kriimmungslinien betraclitet Moug e folgende Beispiele:
1. Die Fliichen, fdir welehe die eine Schar von Kriimmungsli-nien von
ebenen Kurven geb ildet wird, deren Ebenen nile parallel sind
(Nr. 21-23). Es sind die scion von Euler in anderem Zusammenhang'1) gefundenen Gesimsfluichen; M on ge gibt noch versehiedene Erzeugungsweisen dieser Fliichen an; 2. die Flichen, fair weiche der
eine Krtimmungsradius konstant ist (Nr. 24 und 25). Hier ergeben sich die Rdbrenfluichen mit eiuer beliebigen Raumkurve als
Leitkurve; der spezielle Fall, daB diese eine ebene Kurve ist, ist joa
schon in Nr. 8 erledigt worden. 3. Die Flichen, ffir weiche die
Krtimmuugsradien gleich und gleichgerichtet sind (Nr. 26).
Als einzige Fliche ergibt sich die Kugel, scheinbar allerdings noch
eine Fliiche, die folgendermaBen entsteht: Es sei eine Raumkurve und
eine ibrer Evolventen gegeben; beschreibt man dann urn jeden Punkt
der Kurve eine Kugel, deren Radius gleich dem StUck der Tangente
zwischen Kurve und Evolvente ist, so hat die Enveloppe aller dieser
Kugeln die verlangrte Eigenschaft. Diese Enveloppe reduziert sich aber
bei genauerem Zusehen auf die Evolvente selbst, indem jede Kugel
von der -nachfolgenden nicht gesehnitten, sondern einschliel~end beriffirt wird. Die Enveloppe ist dann der Ort dieser Berilhirpunkte,
d. h. eben die Evolvente. 4. Das Beispiel, das die wichtigsten Ergeb-nisse liefert, niimlich die Fliichen, far welehe die Kriimmungsradien
gleich und entgegengesetzt gericlitet sind (Nr. 27 und 28).
Die Bedingung hierfdr ist nach den friffheren Untersuchungen 2) h =O,
d. h.
(1 - q2)r - 2_pqs -1- (1 ~-p2)t == 0,(1
d. h. dieselbe Gleichung, die der,,citoyen Lagrange" fair die Minimalfliichen gefunden bat.8) Meusnier wird nicht erwiihnt; da seine
Arbeit erst 1785 gredruckt wurde, hat Monge sie vermutlich noch
-nicht gekannt.
Er stelit nun zunilichst nach der frillier (S. 564) angegebenen
Methode die Differentialgleichung der Charakteristiken auf und findet:
(1 + q2)dy2+ 2pqdxdy + ( p)x-0 2
Niinmt man dazu die beiden Gleichungen:
dp ==rdx +sdy, dq ~sdx +tdy
und die Differentialgleichung der Fliiche, so ko-nnen r, t und dyeli-'

1) Siehe S. 653.

') Sehe. 55. 2 Siehe S. 567. 23) Siehe S. 550.