Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Raumkurven und F111chen.56

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z 'enthaltena, geniigt esI z - zn z eliminieren, wodurch man erhailt:
(dy)2[(1 -iq2)s-pqt] +d [(1l+q2)r-(1l+p2)t]-(l +p2)s-ipqr==O. (1)
Eliminiert man umgekehrt dy so ergibt sich:
(z -Z') (r t-S2) + (Z-Z) [(1l+q2)-2_pqs+(1 +p2) t] + 1 +p2 + q2 ---. (2)
Die beiden letzten Gleichungen werden nun geom etrisch gedeutet.
Die erste, die quadratisch in dy ist, sagt, daB es zu. jedem. Filichend x
punkt P zwei Nachbarpunkte P1 und P2 auf der Fliiche gibt, deren
Nornmalen die des Punktes P schneiden. Die Projektionen der Richtungen PP1 und PP2 auf die xy-Ebene sind durch die Gleichung (1)
bestimmt, aus der auch die bemerkenswerte Eigenschaft folgt, daB
PP1 1 PP2 ist. Die zweite liefert zwei Werte von Z -Z, also in
Verbindung mit den Gleichungen der Normalen zwei Punkte auf
dieser, wo sie von den Normalen der Punkte P1 und P2 greschnitten
wird und die als,,centres de courbure" bezeichnet werden. Die Abstiinde dieser beiden Schnittpunkte ergeben sich als die Wurzeln der
quadratischen Gleichung in B:
gR2+ hid? + k 4-= 0,
wo:
g ===rt-_s2; k2-= 1 + p2 +q2 h=(I + q2)r -2pqs +(I + p2) t
Die beiden sich ergebenden Werte nennt Monge,,rayons de courb ur e"; daB es die von Euler 1) gefundenen extremen Werte der
Krimmmungsradien der Normalschnitte sind, wird nicht bemerkt. Nun
folgt die geometrische Konstruktion der beiden orthogonalen Scharen
von Kriimmungslinien, die man erhallt, indem man von jedem
Fliichenpunkt zu den beiden Nachbarpunkten weitergelit, deren Normialen die seinige schneiden, von diesen ebenso zu dritten Punkten usf.
Man erhifit so zwei Scharen von Kurven, deren Projektionen auf die
xy-Ebene der Gleichung (1) genligen. Diese ist also die Differentialgleichung der Kriimmungslinien. Sie liift sich auch in die
Form setzen:
d~p(dy + qdz) == dq(dx + pdz).
Es wird dann durch geometrisehe T~berlegungen gezeigyt, daB die
Flichennormalen kings jeder Kriimmungslinie eine abwickelbare Fliiche
bilden; daB also fuir jede Fliiche zwei Scharen von solchen Fliichen
V) gI. S. 546.