Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abscbnitt XXIV.

Nr. 15 behandelt nach denselben Methoden die Flilhen, welehe
durch Translation einer gregebenen Fhche laings einer ganz beliebigen
-Raumkurve (die also nicht mehr, wie in Nr. 10, auf einer gegebenen
Fliche angenommen wird) als Enveloppen entstehen. Die partielle
Differentialgleichung derselben ist von der Form:
(rt - s)(BT - S2)-rB -2sS - tT~+ 1-0.
BR, S, T sind dabei gegebene Funktionen, die folgendermal~en mit der
transferierten Fliiche zusammenhiUngen: ist diese bestimmt durch
z == F (x, y),.so kann man die beiden Gleichungen p = Fund q aF nach x
und, y aufgelbst denken, so daB also x =f1 (p, q): y =f2 (p, q) ist.
Alone zegt nn zuachs, da ~-f2 -'it a as judf
partielle Ableitungen einer Funktion von p und q, die er mit F bezeichnet, angesehen werden kbnnen. B, S, T sind dann die partiellen
Ableitungen 2. Ordnung von F nach p und q. - Alinlich erledigt
sich die Aufgabe, die Fliichen zn bestimmen, die dureli Translation
einer Raumkurve lungs einer anderen Raumkurve erzeugt werden; am
SeliluB wird noch darauf hingewiesen, wie die entwickelten Methoden
umgekehrt zur Integration einer partiellen Differentialgleiehung dienen
k6Dnnen, welehe die obige Form hat.
Nr. 17 und 18 bringen eine der sch~5nsten Entdeckungen von
Monge, ndimlich die Krilmmungslinien einer Fliaiche. Dieser
Teil kann unbedenklich als der Glanzpunkt des gauzen Werks bezeichnet werden, sowohi in bezug auf die bohe Bedeutung der Resultate, wie in bezug auf die Eleganz, Priizision und Kiarheit der Entwicklung. Wir versuchen Monges Gedankengang in Kiirze anzugeben.
Er gelit aus von den schon friiher aufgestellten Normalengleichunigen:
und sucht die Bedingung daffir, daB diese von der Normalen eines
Nachbarpunktes (x -F dx, y + dy, z ~ _pdx + qdy) gesebuitten wird.
I-Tuter Berticksichtigung der obigen Gleichungen sind die Gleichungen
dieser Naciharnormalen:
dx + pldx + pqdy + (z - z') (rdx + sdy) =0,
dy +pqdx + q~dy + (z - z')(sdx -F tdy) =0.
Die Bedingung, daB diese Normale die erste schneidet, findet, man
dureli Elimination von (x - x'), (y - y'), (z - d') aus den vier Gleichungen der beiden Normalen. Da indes die letzten beiden nur noch