Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Raumkurven und Fhchen.55

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ko nstant und zugleich veriinderlich, foiglich miissen je zwei dureli
eine Gleichung verbunden sein, z. B. fi = qi (ae). Man hat also als
partielle Differentialgleichung 1. Ordnung:
CqfB T(Ax + By + 04)
Stelit man dieselbe UGberlegung fUr die beiden anderen Projektionen
an, so findet man noch zwei weitere Gleichungen, also im. ganzen
drei, von denen jede eine Folge der beiden anderen ist. Wendet man
adf irgend eine derselben das oben zur Herleitung der Charakteristiken
aus einer partiellen Differentialgleichung 1. Ordnung angegebene Verfaliret an, so findet man wieder:
Adx + Bdy + Cdz == 0.
3. Endlich l1ilt sich leicht die endliche Gleichung aufstellen,
niimlich:
z = x. - (Ax + By + Cz) + y 4'~ (Ax + By + LCz).
Sie enthalt zwei willkfirliche Funktionena und ist von derselben Allgemeinheit, wie jede der beiden ersten Formen, deren gemeinsames
Integral sie darstelit.
Auch hier schlieft Monge einige Aufgaben ilber soiche FIdchen
an, n~dmlich eine zn bestimmen, die durch zwei gegebene Kurven gelit,
oder eine, deren Mantellinien siimtflich zwei gegebene Fliichen berifihren; ferner eine Spezialisierung (Nr. 13) fUr den Fall, daB die
Mantellinien alle der xy- Ebene parallel sind. und. die z - Achse treffen.
Hier ergibt sich die Differentialgleichung, von der Mve us nier Gebranch gemaclit hat'1), niimlich:
rq - 2pqs + tp2 = 0.
Den SchiuB bildet eine Bemerkung ftber das Vorkommen solcber
Flachen in der Technik.
In Nr. 14 kommt sodaun eine ausfifihrliche Darlegung der Eigenschaften der abwickelbaren Flijehen. Durch analoge U~berlegungen
wie vorher wird die sic definierende Gleichung in drei versehiedenen
Formen aufgestellt: 1. Als partielle Differentialgicichung 2. Ordnung,
2. als eine ebensolche 1. Ordnung mit einer willkiirlichen Funktion,
3. als endliche Gleichung mit z we i willkiirlichen Funktionen; und es
werden wieder die zwei gleichen Aufgaben wie oben fMr abwickelbare
Fliichen gelbst. fTbrigens deckt sich der Inhalt dieses Blattes im
wesentlichen mit der schon besprochenen Abbandlung von Monge
iiber diesen Gegenstand 2).
1)Siehe S. 550. 2)Sielie S. 6535 if.
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